この節について
整式の加減乗除と因数分解を扱う節です。単項式の次数と係数の確認から始まり、指数法則 \(a^m a^n = a^{m+n}\)、\((a^m)^n = a^{mn}\) を使った整式の展開、そして乗法公式の逆向きの利用である因数分解へ進みます。
展開は公式を覚えていれば手が動きますが、因数分解は「どの公式に持ち込むか」を見抜く部分が難所です。まず共通因数をくくり出す、次に項数（2項なら和と差の積や立方の公式、3項なら\(x^2+(a+b)x+ab\) の形）で候補を絞る、という順で考えると迷いにくくなります。たすきがけが必要な場合は、定数項の約数の組を機械的に書き出して係数を合わせるのが確実です。
以下は問題集の途中式です。答えだけでなく変形の各段階を残しているので、自分の計算のどこで詰まったかを照らし合わせる用途に向いています。
第1章 式の計算
1 整式
BASIC
1 整式
BASIC
1 (1)
\begin{align*}
& 3 x^{2}-4 x+x^{2}-2+x+5 \\
&= 4 x^{2}-3 x+3
\end{align*}
1 (2)
\begin{align*}
& 2+2 x^{2}-7 x+x^{2}+2 x-3+4 x \\
&= 3 x^{2}-x-1
\end{align*}
2 (1)
\begin{align*}
A+B &= \left(2 x^{2}+5 x-3\right)+\left(3 x^{2}-3 x-3\right) \\
&= 5 x^{2}+2 x-6 \\
A-B &= \left(2 x^{2}+5 x-3\right)-\left(3 x^{2}-3 x-3\right) \\
&= -x^{2}+8 x
\end{align*}
2 (2)
\begin{align*}
A+B &= \left(3 x^{3}-2 x+1\right)+\left(2 x^{3}-x^{2}+5 x\right) \\
&= 5 x^{3}-x^{2}+3 x+1 \\
A-B &= \left(3 x^{3}-2 x+1\right)-\left(2 x^{3}-x^{2}+5 x\right) \\
&= x^{3}+x^{2}-7 x+1
\end{align*}
3 (1)
\begin{align*}
& 2 x^{2}-4 x y+3 y^{2}+3 x y+3 x^{2}-2 x-5 \\
&= 5 x^{2}-x y-2 x+3 y^{2}-5 \\
&= 5 x^{2}-(y+2) x+3 y^{2}-5
\end{align*}
3 (2)
\begin{align*}
& a^{3}-2 a^{2} x+a x^{2}+x^{3}-3 a x^{2}+a^{2} x \\
&= x^{3}-2 a x^{2}-a^{2} x+a^{3}
\end{align*}
4 (1)
\begin{align*}
A+B &= \left(2 x^{3}+4 a x^{2}-3 a^{3}\right)+ \\
& \left(3 a x^{2}-2 a^{2} x+2 a^{3}\right) \\
&= 2 x^{3}+7 a x^{2}-2 a^{2} x-a^{3} \\
A-B &= \left(2 x^{3}+4 a x^{2}-3 a^{3}\right)- \\
& \left(3 a x^{2}-2 a^{2} x+2 a^{3}\right) \\
&= 2 x^{3}+a x^{2}+2 a^{2} x-5 a^{3}
\end{align*}
4 (2)
\begin{align*}
A+B &= \left(x^{3}+2 x^{2} y+5 x y-y^{2}\right)+ \\
& \left(3 x^{2} y-x y+2\right) \\
&= x^{3}+5 x^{2} y+4 x y-y^{2}+2 \\
&= -y^{2}+\left(5 x^{2}+4 x\right) y+x^{3}+2\\
A-B &= (x^{3}+2 x^{2} y+5 x y-y^{2})-(3 x^{2} y-x y+2) \\
&= x^{3}-x^{2} y+6 x y-y^{2}-2 \\
&= -y^{2}-(x^{2}-6 x) y+x^{3}-2
\end{align*}
5 (1)
\begin{align*}
(-3 x)^{3} = -27 x^{3}
\end{align*}
5 (2)
\begin{align*}
(-a^{2})^{3} = -a^{6}
\end{align*}
5 (3)
\begin{align*}
(-a b^{3})^{2}(2 a^{2} b)^{3} &= a^{2} b^{6} \cdot 8 \cdot a^{6} \cdot b^{3} \\
&= 8 a^{8} b^{9}
\end{align*}
5 (4)
\begin{align*}
(x+4)(x^{2}+3 x-5)= x^{3}+7 x^{2}+7 x-20
\end{align*}
6 (1)
\begin{align*}
(x+2 y)^{2} = x^{2}+4 x y+4 y^{2}
\end{align*}
6 (2)
\begin{align*}
(3 a-b)^{2} = 9 a^{2}-6 a b+b^{2}
\end{align*}
6 (3)
\begin{align*}
(3 x+2 y)(3 x-7 y)= 9 x^{2}-49 y^{2}
\end{align*}
6 (4)
\begin{align*}
(x+3 a)(x-2 a)= x^{2}+a x-6 a^{2}
\end{align*}
6 (5)
\begin{align*}
(2 x+3)(x+4)= 2 x^{2}+11 x+12
\end{align*}
6 (6)
\begin{align*}
(3 x-2 y)(2 x+3 y)= 6 x^{2}+5 x y-6 y^{2}
\end{align*}
6 (7)
\begin{align*}
(2 a+b)^{3} = 8 a^{3}+12 a^{2} b+6 a b^{2}+b^{3}
\end{align*}
6 (8)
\begin{align*}
(3 x-2 y)^{3} = 27 x^{3}-54 x^{2} y+36 x y^{2}-8 y^{3}
\end{align*}
7 (1)
\begin{align*}
(x+y+1)^{2} = x^{2}+y^{2}+1+2xy+2x+2y
\end{align*}
7 (2)
\begin{align*}
(x-2y+3)^{2} = x^{2}+4y^{2}+9-4xy+6x-12y
\end{align*}
7 (3)
\begin{align*}
(a+2)(a^{2}-2a+4) = a^{3}+8
\end{align*}
7 (4)
\begin{align*}
(3x-1)(9x^{2}+3x+1) = 27x^{3}-1
\end{align*}
8 (1)
\begin{align*}
& (2x+y+3)(2x+y+5) \\
&= (2x+y)^{2}+8(2x+y)+15 \\
&= 4x^{2}+4xy+y^{2}+16x+8y+15
\end{align*}
8 (2)
\begin{align*}
& (a^{2}+a-1)(a^{2}-a+1) \\
&= (a^{2})^{2}-(a-1)^{2} \\
&= a^{4}-(a^{2}-2a+1) \\
&= a^{4}-a^{2}+2a-1
\end{align*}
9 (1)
\begin{align*}
4a^{3}-9ab^{2} &= a(4a^{2}-9b^{2}) \\
&= a(2a+3b)(2a-3b)
\end{align*}
9 (2)
\begin{align*}
ab-b-ac+c &= a(b-c)-(b-c) \\
&= (b-c)(a-1)
\end{align*}
9 (3)
\begin{align*}
8a^{3}+27 = (2a+3)(4a^{2}-6a+9)
\end{align*}
9 (4)
\begin{align*}
x^{2}+2xy+y^{2}-z^{2} &= (x+y)^{2}-z^{2} \\
&= (x+y+z)(x+y-z)
\end{align*}
10 (1)
\begin{align*}
x^{2}-5 x+6 = (x-2)(x-3)
\end{align*}
10 (2)
\begin{align*}
x^{2}-7 x-30 = (x-10)(x+3)
\end{align*}
11 (1)
\begin{align*}
6 x^{2}+17 x+5 = (2 x+5)(3 x+1)
\end{align*}
11 (2)
\begin{align*}
3 x^{2}+4 x-4 = (3 x-2)(x+2)
\end{align*}
12 (1)
\begin{align*}
x^{4}-16 &= (x^{2}+4)(x^{2}-4) \\
&= (x^{2}+4)(x+2)(x-2)
\end{align*}
12 (2)
\begin{align*}
& (x-y)^{2}+2(x-y)-15 \\
&= \{(x-y)+5\}\{(x-y)-3\} \\
&= (x-y+5)(x-y-3)
\end{align*}
12 (3)
\begin{align*}
& x^{2}+2 x y+y^{2}-3 x-3 y+2 \\
&= x^{2}+(2 y-3) x+(y-1)(y-2) \\
&= \{x+(y-1)\}\{x+(y-2)\} \\
&= (x+y-1)(x+y-2)
\end{align*}
12 (4)
\begin{align*}
& 2 x^{2}+5 x y+3 y^{2}-3 x-5 y-2 \\
&= 2 x^{2}+(5 y-3) x+(3 y+1)(y-2) \\
&= \{2 x+(3 y+1)\}\{x+(y-2)\} \\
&= (2 x+3 y+1)(x+y-2)
\end{align*}
13 (1)
\begin{align*}
&\text{商 } x+5, \text{ 余り } 9 \\
&\begin{array}{r}
x + 5 \\[-3pt]
x - 2 \ \overline{) \ x^2 + 3x - 1} \\
\underline{x^2 - 2x \phantom{-1}} \\
5x - 1 \\
\underline{5x - 10} \\
9
\end{array}
\end{align*}
13 (2)
\begin{align*}
&\text{商 } 4x^2 - 13x + 16, \quad \text{余り } -16 \\
&\begin{array}{r}
4x^2 - 13x + 16 \\[-3pt]
x + 1 \ \overline{) \ 4x^3 - 9x^2 + 3x \phantom{+00}} \\
\underline{4x^3 + 4x^2 \phantom{-000000}} \\
-13x^2 + 3x \phantom{00} \\
\underline{-13x^2 - 13x \phantom{00}} \\
16x \phantom{00} \\
\underline{16x + 16} \\
-16
\end{array}
\end{align*}
13 (3)
\begin{align*}
&\text{商 } 2x + 1, \quad \text{余り } -9x + 3 \\
&\begin{array}{r}
2x + 1 \\[-3pt]
x^2 + x + 2 \ \overline{) \ 2x^3 + 3x^2 - 4x + 5} \\
\underline{2x^3 + 2x^2 + 4x \phantom{+0}} \\
x^2 - 8x + 5 \\
\underline{x^2 + \phantom{0}x + 2} \\
-9x + 3
\end{array}
\end{align*}
14
\begin{align*}
&\text{ある整式を } A \text{ とすると} \nr
A &= (2x+3)(3x^2-1)+5 \nr
&= 6x^3+9x^2-2x-3+5 \nr
&= 6x^3+9x^2-2x+2
\end{align*}
15 (1)
\begin{align*}
&\text{最大公約数 } bc \nr
&\text{最小公倍数 } ab^2c^3d
\end{align*}
15 (2)
\begin{align*}
&\text{最大公約数 } x+2 \nr
&\text{最小公倍数 } (x+2)(x-1)(x-2)
\end{align*}
15 (3)
\begin{align*}
&\text{最大公約数 } x+1 \nr
&\text{最小公倍数 } (x+1)^2(x-1)(x^2-x+1)
\end{align*}
16 （1）
\begin{align*}
& 2 P(x)-Q(x) \\
& =2\left(x^{3}-x^{2}-5 x+2\right)- \\
& \left(2 x^{3}+6 x^{2}+3 x-1\right) \\
& =-8 x^{2}-13 x+5
\end{align*}
16 （2）
\begin{align*}
P(2) & =8-4-5 \cdot 2+2 \\
& =4-10+2 \\
& =-4
\end{align*}
16 （3）
\begin{align*}
Q(-a)=-2 a^{3}+6 a^{2}-3 a-1
\end{align*}
17 (1)
\begin{align*}
A(2) &= 8 - 10 + 3 \\
&= 1
\end{align*}
17 (2)
\begin{align*}
A(-3) &= -27 + 9 + 9 + 6 \\
&= -3
\end{align*}
18
\(x = -\frac{1}{2}\) を代入すると
\begin{align*}
&2 \cdot \left( -\frac{1}{8} \right) - \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 5 \\
&= -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{7}{2} \\
&= -\frac{1}{2} + \frac{7}{2} \\
&= 3
\end{align*}
19
\begin{align*}
P(-1) &= -1 + 4 - 1 - 6 = -4 \\
P(-2) &= -8 + 16 - 2 - 6 = 0 \\
P(-3) &= -27 + 36 - 3 - 6 = 0
\end{align*}
よって，\(x+2, x+3\) で割り切れる
20
\(x = 1\) を代入した値が \(0\) となるので
\begin{align*}
2 + k + 3 - 10 &= 0 \\
k &= 5
\end{align*}
21 (1)
\begin{align*}
&x^3 - 7x + 6 \\
&= (x - 1)(x^2 + x - 6) \\
&= (x - 1)(x + 3)(x - 2)
\end{align*}
21 (2)
\begin{align*}
&x^3 + 4x^2 + 5x + 2 \\
&= (x + 1)(x^2 + 3x + 2) \\
&= (x + 1)^2(x + 2)
\end{align*}
21 (3)
\begin{align*}
&2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 \\
&= (x - 2)(2x^2 + 7x + 3) \\
&= (x - 2)(2x + 1)(x + 3)
\end{align*}
21 (4)
\begin{align*}
&x^4 + 5x^3 + 5x^2 - 5x - 6 \\
&= (x - 1)(x^3 + 6x^2 + 11x + 6) \\
&= (x - 1)(x + 1)(x^2 + 5x + 6) \\
&= (x - 1)(x + 1)(x + 2)(x + 3)
\end{align*}
ブラウザ上での描画のため、PDF版とは体裁が異なる場合があります。
ここに記す解法が最適なものとは限りません。途中式の丸写しはあなたのためになりません。学習の参考程度にご活用ください。
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