この節について
2次方程式を中心に、高次方程式や連立方程式までを扱う節です。因数分解できる場合はそのまま、できない場合は解の公式 \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) を使う、という使い分けが基本になります。
判別式 \(D = b^2-4ac\) は、解を求めずに解の個数と種類（実数解か虚数解か）だけを判定したいときに使います。「実数解をもつような \(k\) の範囲を求めよ」といった問題は、解そのものではなく \(D \geqq 0\) を解く問題に読み替えるのがポイントです。解と係数の関係 \(\alpha+\beta = -\dfrac{b}{a}\)、\(\alpha\beta = \dfrac{c}{a}\) も、2解を個別に求めずに対称式の値を出せるので計算量を大きく減らせます。
高次方程式は因数定理で1つ解を見つけて次数を下げるのが定石です。以下の解答例では、その「代入して0になる値の探し方」も含めて途中式を残しています。
2章 方程式と不等式
1 方程式
BASIC
1 方程式
BASIC
68 (1)
\begin{align*}
x^2 - 3x - 4 &= 0 \nr
(x - 4)(x + 1) &= 0 \nr
x &= 4, \ -1
\end{align*}
68 (2)
\begin{align*}
x^2 + 3x &= 0 \nr
x(x + 3) &= 0 \nr
x &= 0, \ -3
\end{align*}
68 (3)
\begin{align*}
3x^2 - 7x + 2 &= 0 \nr
(3x - 1)(x - 2) &= 0 \nr
x &= \frac{1}{3}, \ 2
\end{align*}
68 (4)
\begin{align*}
8x^2 - 2x - 3 &= 0 \nr
(2x + 1)(4x - 3) &= 0 \nr
x &= -\frac{1}{2}, \ \frac{3}{4}
\end{align*}
69 (1)
\begin{align*}
x^2 + 7x + 8 &= 0 \nr
x &= \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 32}}{2} \nr
&= \frac{-7 \pm \sqrt{17}}{2}
\end{align*}
69 (2)
\begin{align*}
3x^2 - 5x + 1 &= 0 \nr
x &= \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12}}{6} \nr
&= \frac{5 \pm \sqrt{13}}{6}
\end{align*}
69 (3)
\begin{align*}
x^2 + 2x - 7 &= 0 \nr
x &= -1 \pm \sqrt{1 + 7} \nr
&= -1 \pm \sqrt{8} \nr
&= -1 \pm 2\sqrt{2}
\end{align*}
69 (4)
\begin{align*}
2x^2 - 2x - 3 &= 0 \nr
x &= \frac{1 \pm \sqrt{1 - 2(-3)}}{2} \nr
&= \frac{1 \pm \sqrt{1 + 6}}{2} \nr
&= \frac{1 \pm \sqrt{7}}{2}
\end{align*}
70 (1)
\begin{align*}
x^2 - 12x + 36 &= 0 \nr
(x - 6)^2 &= 0 \nr
x &= 6
\end{align*}
70 (2)
\begin{align*}
4x^2 + 20x + 25 &= 0 \nr
(2x + 5)^2 &= 0 \nr
x &= -\frac{5}{2}
\end{align*}
71 (1)
\begin{align*}
x^2 + 5x + 7 &= 0 \nr
x &= \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 28}}{2} \nr
&= \frac{-5 \pm \sqrt{-3}}{2} \nr
&= \frac{-5 \pm \sqrt{3}i}{2}
\end{align*}
71 (2)
\begin{align*}
2x^2 + 3x + 2 &= 0 \nr
x &= \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 16}}{4} \nr
&= \frac{-3 \pm \sqrt{-7}}{4} \nr
&= \frac{-3 \pm \sqrt{7}i}{4}
\end{align*}
71 (3)
\begin{align*}
x^2 + 4 &= 0 \nr
x^2 &= -4 \nr
x &= \pm 2i
\end{align*}
71 (4)
\begin{align*}
3x^2 - 2x + 4 &= 0 \nr
x &= \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12}}{3} \nr
&= \frac{1 \pm \sqrt{-11}}{3} \nr
&= \frac{1 \pm \sqrt{11}i}{3}
\end{align*}
72 (1)
判別式を \(D\) とすると
\begin{align*}
x^2 - 3x + 6 &= 0 \nr
D &= (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 \nr
&= 9 - 24 \nr
&= -15 < 0
\end{align*}
よって、異なる2つの虚数解をもつ。
72 (2)
判別式を \(D\) とすると
\begin{align*}
2x^2 - x - 5 &= 0 \nr
D &= (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) \nr
&= 1 + 40 \nr
&= 41 > 0
\end{align*}
よって、異なる2つの実数解をもつ。
72 (3)
判別式を \(D\) とすると
\begin{align*}
9x^2 + 6x + 1 &= 0 \nr
D/4 &= 3^2 - 9 \cdot 1 \nr
&= 9 - 9 = 0
\end{align*}
よって、重解をもつ。
73 (1)
\begin{align*}
D&=k^{2}-4(k+8)\nr
&=k^{2}-4k-32\nr
&=(k-8)(k+4)=0\nr
k&=-4, 8
\end{align*}
\(k=-4\) のとき
\begin{align*}
x^2-4x+4&=0\nr
(x-2)^2&=0\nr
x&=2
\end{align*}
\(k=8\) のとき
\begin{align*}
x^2+8x+16&=0\nr
(x+4)^2&=0\nr
x&=-4
\end{align*}
73 (2)
判別式を \(D\) とすると
\begin{align*}
D &= (k + 3)^2 - 4 \cdot 4k \nr
&= k^2 + 6k + 9 - 16k \nr
&= k^2 - 10k + 9 \nr
&= (k - 1)(k - 9) = 0 \nr
k &= 1, \ 9
\end{align*}
\(k = 1\) のとき
\begin{align*}
4x^2 + 4x + 1 &= 0 \nr
(2x + 1)^2 &= 0 \nr
x &= -\frac{1}{2}
\end{align*}
\(k = 9\) のとき
\begin{align*}
4x^2 + 12x + 9 &= 0 \nr
(2x + 3)^2 &= 0 \nr
x &= -\frac{3}{2}
\end{align*}
74 (1)
\begin{align*}
\alpha + \beta = -4, \ \alpha \beta = \frac{1}{2} \nr
\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2 &= \alpha \beta (\alpha + \beta) \\
&= \frac{1}{2} \times (-4) \\
&= -2
\end{align*}
74 (2)
\begin{align*}
\alpha^2 + \beta^2 &= (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta \nr
&= 16 - 1 \nr
&= 15
\end{align*}
74 (3)
\begin{align*}
\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} &= \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} \nr
&= -4 \times 2 \nr
&= -8
\end{align*}
75 (1)
\(x^2 - 2x - 2 = 0\) とすると
\begin{align*}
x &= 1 \pm \sqrt{3} \nr
\therefore &(x - 1 - \sqrt{3})(x - 1 + \sqrt{3})
\end{align*}
75 (2)
\(x^2 - 3x + 4 = 0\) とすると
\begin{align*}
x &= \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2} \nr
&= \frac{3 \pm \sqrt{7}i}{2} \nr
\therefore &\left(x - \frac{3 + \sqrt{7}i}{2}\right)\left(x - \frac{3 - \sqrt{7}i}{2}\right)
\end{align*}
75 (3)
\(3x^2 + 2x + 1 = 0\) とすると
\begin{align*}
x &= \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 3}}{3} \nr
&= \frac{-1 \pm \sqrt{2}i}{3} \nr
\therefore 3&\left(x - \frac{-1 + \sqrt{2}i}{3}\right)\left(x - \frac{-1 - \sqrt{2}i}{3}\right)
\end{align*}
75 (4)
\(4x^2 - 8x + 1 = 0\) とすると
\begin{align*}
x &= \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{4} \nr
&= \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{4} \nr
&= \frac{2 \pm \sqrt{3}}{2} \nr
\therefore 4&\left(x - \frac{2 + \sqrt{3}}{2}\right)\left(x - \frac{2 - \sqrt{3}}{2}\right)
\end{align*}
76 (1)
\begin{align*}
x^4 - 7x^2 - 18 &= 0 \nr
(x^2 - 9)(x^2 + 2) &= 0 \nr
x &= \pm 3, \pm \sqrt{2}i
\end{align*}
76 (2)
\begin{align*}
x^5 + 8x^3 - 9x &= 0 \nr
x(x^4 + 8x^2 - 9) &= 0 \nr
x(x^2 + 9)(x^2 - 1) &= 0 \nr
x &= 0, \pm 1, \pm 3i
\end{align*}
77 (1)
\begin{align*}
x^3 + 4x^2 + 2x - 1 &= 0 \nr
(x + 1)(x^2 + 3x - 1) &= 0 \nr
x &= -1, \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}
\end{align*}
77 (2)
\begin{align*}
2x^3 - x^2 - 5x - 2 &= 0 \nr
(x - 2)(2x^2 + 3x + 1) &= 0 \nr
(x - 2)(2x + 1)(x + 1) &= 0 \nr
x &= 2, -\frac{1}{2}, -1
\end{align*}
78 (1)
\begin{align*}
\begin{cases}
3x - y + z = 6 \cdots \text{①} \nr
5x - 4y + 2z = 7 \cdots \text{②} \nr
x + 3y - z = 8 \cdots \text{③}
\end{cases}
\end{align*}
① + ③ より
\begin{align*}
4x + 2y &= 14 \cdots \text{④}
\end{align*}
② + ③ \(\times 2\) より
\begin{align*}
7x + 2y &= 23 \cdots \text{⑤}
\end{align*}
④, ⑤ より
\begin{align*}
x = 3, \ y = 1
\end{align*}
① に代入して
\begin{align*}
9 - 1 + z &= 6 \nr
z &= -2 \nr
\therefore (x, y, z) &= (3, 1, -2)
\end{align*}
78 (2)
\begin{align*}
\begin{cases}
x + 3y = 5 \cdots \text{①} \nr
2x + y + z = 1 \cdots \text{②} \nr
x + 2y + 3z = 6 \cdots \text{③}
\end{cases}
\end{align*}
② \(\times 3 - \) ③ より
\begin{align*}
5x + y &= -3 \cdots \text{④}
\end{align*}
① + ④ \(\times 3\) より
\begin{align*}
16x &= -4 \nr
\therefore x &= -1, \ y = 2
\end{align*}
② に代入して
\begin{align*}
-2 + 2 + z &= 1 \nr
z &= 1 \nr
\therefore (x, y, z) &= (-1, 2, 1)
\end{align*}
79 (1)
\begin{align*}
\begin{cases}
2x + y = 1 \cdots \text{①} \nr
5x^2 - y^2 + y = 3 \cdots \text{②}
\end{cases}
\end{align*}
① より \(y = 1 - 2x\) これを ② に代入して
\begin{align*}
5x^2 - (1 - 2x)^2 &+ (1 - 2x) = 3 \nr
5x^2 - (1 - 4x + 4x^2) &+ 1 - 2x = 3 \nr
x^2 + 2x - 3 &= 0 \nr
(x + 3)(x - 1) &= 0 \nr
x &= -3, \ 1
\end{align*}
\((x, y) = (-3, 7), (1, -1)\)
79 (2)
\begin{align*}
\begin{cases}
x - y = 4 \cdots \text{①} \nr
x^2 + xy + y^2 = 13 \cdots \text{②}
\end{cases}
\end{align*}
① より \(x = 4 + y\) これを ② に代入して
\begin{align*}
(4 + y)^2 + (4 + y)y + y^2 &= 13 \nr
(16 + 8y + y^2) + (4y + y^2) + y^2 &= 13 \nr
3y^2 + 12y + 3 &= 0 \nr
y^2 + 4y + 1 &= 0 \nr
y &= -2 \pm \sqrt{3}
\end{align*}
\(x = 4 + (-2 \pm \sqrt{3}) = 2 \pm \sqrt{3}\) より \((x, y) = (2 \pm \sqrt{3}, -2 \pm \sqrt{3})\)（複号同順）
80 (1)
\begin{align*}
|3x + 1| &= 2 \nr
3x + 1 &= \pm 2 \nr
3x &= 1, \ -3 \nr
x &= \frac{1}{3}, \ -1
\end{align*}
80 (2)
\begin{align*}
|2x - 7| - 3 &= 0 \nr
2x - 7 &= \pm 3 \nr
2x &= 10, \ 4 \nr
x &= 5, \ 2
\end{align*}
81 (1)
\begin{align*}
\frac{3}{x - 1} + \frac{4}{x - 2} &= \frac{2x + 5}{(x - 1)(x - 2)} \nr
3(x - 2) + 4(x - 1) &= 2x + 5 \nr
7x - 10 &= 2x + 5 \nr
5x &= 15 \nr
x &= 3
\end{align*}
81 (2)
\begin{align*}
\frac{x}{x - 3} + \frac{1}{x + 2} &= \frac{5x}{x^2 - x - 6} \nr
x(x + 2) + x - 3 &= 5x \nr
x^2 + 2x + x - 3 - 5x &= 0 \nr
x^2 - 2x - 3 &= 0 \nr
(x - 3)(x + 1) &= 0 \nr
x &= -1, \ 3
\end{align*}
\(x \neq -2, 3\) より
\begin{align*}
x &= -1
\end{align*}
82 (1)
\begin{align*}
\sqrt{x - 1} &= x - 3
\end{align*}
定義域 \(x \geqq 1\) かつ、(左辺) \(\geqq 0\) より \(x \geqq 3\) が必要である。
\begin{align*}
x - 1 &= (x - 3)^2 \nr
x - 1 &= x^2 - 6x + 9 \nr
x^2 - 7x + 10 &= 0 \nr
(x - 2)(x - 5) &= 0 \nr
x &= 2, \ 5
\end{align*}
\(x \geqq 3\) より
\begin{align*}
x &= 5
\end{align*}
82 (2)
\begin{align*}
&\sqrt{10 - x^2} = x + 2
\end{align*}
定義域 \(10 - x^2 \geqq 0\) より \(-\sqrt{10} \leqq x \leqq \sqrt{10}\) である。また、(左辺) \(\geqq 0\) より \(x + 2 \geqq 0\) すなわち \(x \geqq -2\) が必要である。このとき両辺を2乗して
\begin{align*}
&10 - x^2 = (x + 2)^2 \nr
&10 - x^2 = x^2 + 4x + 4 \nr
&2x^2 + 4x - 6 = 0 \nr
&x^2 + 2x - 3 = 0 \nr
&(x + 3)(x - 1) = 0 \nr
&x = -3, \ 1
\end{align*}
条件を満たすのは
\begin{align*}
&x = 1 \text{ （$x = -3$ は不適）}
\end{align*}
83 (1)
\begin{align*}
&3x^2 + ax + 1 = bx^2 + 5x + c
\end{align*}
\(x\) についての恒等式なので、係数を比較して
\begin{align*}
&b = 3 \nr
&a = 5 \nr
&c = 1 \nr
&\therefore a = 5, \ b = 3, \ c = 1
\end{align*}
83 (2)
\begin{align*}
&ax^2 - 3 = 2x^2 + bx + c
\end{align*}
\(x\) についての恒等式なので、係数を比較して
\begin{align*}
&a = 2 \nr
&b = 0 \nr
&c = -3 \nr
&\therefore a = 2, \ b = 0, \ c = -3
\end{align*}
84 (1)
\begin{align*}
&2x^2 + 3x + 6 \nr
&= a(x + 1)(x + 2) + b(x - 1) + c
\end{align*}
右辺を展開すると
\begin{align*}
&a(x^2 + 3x + 2) + bx - b + c \nr
&= ax^2 + (3a + b)x + 2a - b + c
\end{align*}
\(x\) についての恒等式なので
\begin{align*}
&a = 2 \nr
&3a + b = 3 \nr
&2a - b + c = 6
\end{align*}
これを解いて
\begin{align*}
&\therefore a = 2, \ b = -3, \ c = -1
\end{align*}
84 (2)
\begin{align*}
(\text{右辺}) &= x^3 + (b + c)x^2 + (bc + 2)x + 2c
\end{align*}
\(x\) についての恒等式なので、係数を比較して
\begin{align*}
&b + c = 3 \cdots \text{①} \nr
&bc + 2 = 4 \cdots \text{②} \nr
&2c = a \cdots \text{③}
\end{align*}
①より \(b = 3 - c\)。これを②に代入して
\begin{align*}
&(3 - c)c + 2 = 4 \nr
&c^2 - 3c + 2 = 0 \nr
&(c - 2)(c - 1) = 0 \nr
&c = 1, 2 \nr
\therefore &(a, b, c) = (2, 2, 1), (4, 1, 2)
\end{align*}
85 (1)
\begin{align*}
\frac{1}{(x - 1)(x - 3)} &= \frac{a}{x - 1} + \frac{b}{x - 3} \nr
1 &= a(x - 3) + b(x - 1) \nr
1 &= (a + b)x - (3a + b)
\end{align*}
\(x\) についての恒等式なので
\begin{align*}
&a + b = 0 \nr
&3a + b = -1 \nr
\therefore a &= -\frac{1}{2}, \ b = \frac{1}{2}
\end{align*}
85 (2)
\begin{align*}
\frac{8x + 1}{x^3 - 1} &= \frac{a}{x - 1} + \frac{bx + c}{x^2 + x + 1} \nr
8x + 1 &= a(x^2 + x + 1) + (bx + c)(x - 1) \nr
8x + 1 &= (a + b)x^2 + (a - b + c)x + a - c
\end{align*}
\(x\) についての恒等式なので
\begin{align*}
&a + b = 0 \nr
&a - b + c = 8 \nr
&a - c = 1 \nr
\therefore a &= 3, \ b = -3, \ c = 2
\end{align*}
86
\begin{align*}
(\text{左辺}) - (\text{右辺}) &= x^3 + y^3 - (x + y)^3 \nr
&\quad + 3xy(x + y) \nr
&= x^3 + y^3 \nr
&\quad - (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) \nr
&\quad + 3x^2y + 3xy^2 \nr
&= 0 \nr
&\text{よって等式は成り立つ}
\end{align*}
87
\begin{align*}
(\text{左辺}) - (\text{右辺}) &= a^2 + ac - b^2 - bc \nr
&= (a^2 - b^2) + c(a - b) \nr
&= (a + b)(a - b) + c(a - b) \nr
&= (a - b)(a + b + c) \nr
&= 0 \quad (\because a + b + c = 0)
\end{align*}
CHECK
88 (1)
\begin{align*}
&6x^2 + x - 12 = 0 \nr
&(3x - 4)(2x + 3) = 0 \nr
&x = \frac{4}{3}, \ -\frac{3}{2}
\end{align*}
88 (2)
\begin{align*}
&3x^2 + 4x + 2 = 0 \nr
&x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 6}}{3} \nr
&x = \frac{-2 \pm \sqrt{2}i}{3}
\end{align*}
88 (3)
\begin{align*}
&x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 = 0 \nr
&(x - \sqrt{3})^2 = 0 \nr
&x = \sqrt{3}
\end{align*}
88 (4)
\begin{align*}
&2x^2 = 7x - 4 \nr
&2x^2 - 7x + 4 = 0 \nr
&x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 32}}{4} \nr
&x = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{4}
\end{align*}
88 (5)
\begin{align*}
&x^2 + 2x - \frac{5}{3} = 0 \nr
&3x^2 + 6x - 5 = 0 \nr
&x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 15}}{3} \nr
&x = \frac{-3 \pm 2\sqrt{6}}{3}
\end{align*}
88 (6)
\begin{align*}
&\frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} = 0 \nr
&4x^2 - 6x + 3 = 0 \nr
&x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12}}{4} \nr
&x = \frac{3 \pm \sqrt{3}i}{4}
\end{align*}
89 (1)
\begin{align*}
&x^4 - 10x^2 + 9 = 0 \nr
&(x^2 - 1)(x^2 - 9) = 0 \nr
&x^2 = 1, \ 9 \nr
&x = \pm 1, \pm 3
\end{align*}
89 (2)
\begin{align*}
&x^{3}-5x+2=0 \\
&(x-2)(x^{2}+2x-1)=0 \\
&x=2, \ -1 \pm \sqrt{2}
\end{align*}
89 (3)
\begin{align*}
&|4 x-3|=5 \\
&4 x-3=\pm 5 \\
&4 x=8, \ -2 \\
&x=2, \ -\frac{1}{2}
\end{align*}
89 (4)
\begin{align*}
&1-2 x=\sqrt{4-3 x} \\
&\text{条件 } x \leqq \frac{1}{2} \text{ のもとで両辺を2乗} \\
&(1-2 x)^{2}=4-3 x \\
&1-4 x+4 x^{2}=4-3 x \\
&4 x^{2}-x-3=0 \\
&(4 x+3)(x-1)=0 \\
&x=1, \ -\frac{3}{4} \\
&x \leqq \frac{1}{2} \text{ より } x=-\frac{3}{4}
\end{align*}
89 (5)
\begin{align*}
&\frac{3 x}{x+1}-\frac{2}{x+3}=\frac{6 x}{(x+1)(x+3)} \\
&3 x(x+3)-2(x+1)=6 x \\
&3 x^{2}+9 x-2 x-2-6 x=0 \\
&3 x^{2}+x-2=0 \\
&(3 x-2)(x+1)=0 \\
&x=-1, \frac{2}{3} \\
&\text{分母 } \neq 0 \text{ より } x \neq -1, -3 \\
&\therefore x=\frac{2}{3}
\end{align*}
90(1)
\begin{align*}
&\begin{cases} 2x-y+z=1 & \cdots (1) \\ 3x-2y-2z=3 & \cdots (2) \\ x+2y+3z=8 & \cdots (3) \end{cases} \\
&(1)\times 2 + (2) \text{ より} \\
&7x-4y=5 \quad \cdots (4) \\
&(1)\times 3 - (3) \text{ より} \\
&5x-5y=-5 \\
&x-y=-1 \quad \cdots (5) \\
&(4) - (5)\times 4 \text{ より} \\
&3x=9 \\
&x=3 \\
&(5) \text{ に代入して } y=4 \\
&(1) \text{ に代入して } z=-1 \\
&(x, y, z)=(3, 4, -1)
\end{align*}
90(2)
\begin{align*}
&\begin{cases} 3x+y=1 & \cdots (1) \\ 4x^{2}+xy+y^{2}=6 & \cdots (2) \end{cases} \\
&(1) \text{ より } y=1-3x \\
&(2) \text{ に代入して} \\
&4x^{2}+x(1-3x)+(1-3x)^{2}=6 \\
&4x^{2}+x-3x^{2}+1-6x+9x^{2}=6 \\
&10x^{2}-5x-5=0 \\
&2x^{2}-x-1=0 \\
&(2x+1)(x-1)=0 \\
&x=1, -\frac{1}{2} \\
&(x, y)=(1, -2), \left(-\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right)
\end{align*}
91
\begin{align*}
&x^{2}-(k+4)x+(2k+5)=0 \\
&\text{判別式を } D \text{ とすると} \\
&D=(k+4)^{2}-4(2k+5) \\
&=k^{2}+8k+16-8k-20 \\
&=k^{2}-4=0 \\
&k=\pm 2 \\
&k=2 \text{ のとき } x^{2}-6x+9=0 \\
&x=3 \\
&k=-2 \text{ のとき } x^{2}-2x+1=0 \\
&x=1
\end{align*}
92 (1)
\begin{align*}
&\text{解と係数の関係より} \\
&\alpha+\beta = \frac{2}{3}, \quad \alpha\beta = \frac{1}{3} \\
&\alpha^{2}+\beta^{2} \\
&= (\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta \\
&= \left(\frac{2}{3}\right)^{2}-2\left(\frac{1}{3}\right) \\
&= \frac{4}{9}-\frac{6}{9} \\
&= -\frac{2}{9}
\end{align*}
92 (2)
\begin{align*}
&\alpha^{3}+\beta^{3} \\
&= (\alpha+\beta)^{3}-3\alpha\beta(\alpha+\beta) \\
&= \left(\frac{2}{3}\right)^{3}-3\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right) \\
&= \frac{8}{27}-\frac{18}{27} \\
&= -\frac{10}{27}
\end{align*}
93 (1)
\begin{align*}
&x^{2}-x+1=0 \quad \text{とする} \\
&x = \frac{1 \pm \sqrt{1-4}}{2} \\
&x = \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2} \\
&\therefore \left(x-\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\right)
\end{align*}
93 (2)
\begin{align*}
&3x^{2}+8x+3=0 \quad \text{とする} \\
&x = \frac{-4 \pm \sqrt{16-9}}{3} \\
&x = \frac{-4 \pm \sqrt{7}}{3} \\
&\therefore \left(x-\frac{-4+\sqrt{7}}{3}\right)\left(x-\frac{-4-\sqrt{7}}{3}\right)
\end{align*}
94 (1)
\begin{align*}
&(\text{右辺}) = b(x^{2}+2x+1)+c(x+1)+d \\
&= bx^{2}+(2b+c)x+(b+c+d) \\
&x \text{についての恒等式なので} \\
&\begin{cases} b=2 \\ 2b+c=3 \\ b+c=a \end{cases} \\
&\text{これを解いて} \\
&a=1, \ b=2, \ c=-1
\end{align*}
94 (2)
\begin{align*}
&\frac{3x-1}{(x+1)^{2}} = \frac{a}{x+1}+\frac{b}{(x+1)^{2}} \\
&3x-1 = a(x+1)+b \\
&3x-1 = ax+(a+b) \\
&\text{係数を比較して} \\
&\begin{cases} a=3 \\ a+b=-1 \end{cases} \\
&\therefore a=3, \ b=-4
\end{align*}
95
\begin{align*}
&(\text{左辺})-(\text{右辺}) \\
&= (x^{3}+1)(x^{2}+x+1) \\
&\quad -(x+1)(x^{4}+x^{2}+1) \\
&= (x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1) \\
&\quad -(x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1) \\
&= 0 \\
&\text{よって等式は成り立つ}
\end{align*}
96
\begin{align*}
&(\text{左辺})-(\text{右辺}) \\
&= (x+y)(y+z)(z+x)+xyz \\
&\quad -(x+y+z)(xy+yz+zx) \\
&= (x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz+xyz \\
&\quad -(x+y+z)(xy+yz+zx) \\
&= 0 \\
&\text{よって等式は成り立つ}
\end{align*}
STEP UP
97 (1)
\begin{align*}
&\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k \quad \text{とおくと} \\
&x=2k, \ y=3k, \ z=4k \\
&x^{2}+y-3z+2=0 \quad \text{に代入して} \\
&(2k)^{2}+3k-3(4k)+2=0 \\
&4k^{2}-9k+2=0 \\
&(4k-1)(k-2)=0 \\
&k=\frac{1}{4}, \ 2 \\
&\therefore (x, y, z) = \left(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1\right), \ (4, 6, 8)
\end{align*}
97 (2)
\begin{align*}
&\begin{cases} x^{2}+y^{2}=16 & \cdots (1) \\ y=x^{2}-4 & \cdots (2) \end{cases} \\
&(2) \text{ より } x^{2}=y+4 \\
&(1) \text{ に代入して} \\
&(y+4)+y^{2}=16 \\
&y^{2}+y-12=0 \\
&(y+4)(y-3)=0 \\
&y=-4, \ 3 \\
&y=-4 \text{ のとき } x^{2}=0 \implies x=0 \\
&y=3 \text{ のとき } x^{2}=7 \implies x=\pm\sqrt{7} \\
&\therefore (x, y) = (0, -4), \ (\pm\sqrt{7}, 3)
\end{align*}
98 (1)
\begin{align*}
&x^{4}-6x^{2}+1=0 \\
&x^{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36-4}}{2} \\
&x^{2} = 3 \pm 2\sqrt{2} \\
&x = \pm\sqrt{3 \pm 2\sqrt{2}} \\
&x = \pm(\sqrt{2} \pm 1) \\
&\therefore x = 1 \pm \sqrt{2}, \ -1 \pm \sqrt{2}
\end{align*}
98 (2)
\begin{align*}
x^4+x^2+1&=0 \nr
(x^4+2x^2+1)-x^2&=0 \nr
(x^2+1)^2-x^2&=0 \nr
(x^2+x+1)(x^2-x+1)&=0 \nr
x=\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}, \ &\frac{1\pm\sqrt{3}i}{2}
\end{align*}
99 (1)
\begin{align*}
&\frac{3}{x^{2}-3x}-\frac{x+2}{x^{2}+x}-\frac{17x+1}{x^{2}-2x-3}=\frac{3x}{x+1} \\
&\frac{3}{x(x-3)}-\frac{x+2}{x(x+1)}-\frac{17x+1}{(x-3)(x+1)}=\frac{3x}{x+1} \\
&\text{両辺に } x(x+1)(x-3) \text{ を掛けて} \\
&3(x+1)-(x+2)(x-3)-x(17x+1)=3x^{2}(x-3) \\
&3x+3-(x^{2}-x-6)-(17x^{2}+x)=3x^{3}-9x^{2} \\
&3x^{3}+9x^{2}-3x-9=0 \\
&x^{3}+3x^{2}-x-3=0 \\
&x^{2}(x+3)-(x+3)=0 \\
&(x+3)(x^{2}-1)=0 \\
&x=-3, \ \pm 1 \\
&\text{分母 } \neq 0 \text{ より } x \neq 0, \ -1, \ 3 \\
&\therefore x=-3, \ 1
\end{align*}
99 (2)
\begin{align*}
&\sqrt{3x-5}+10=2x \\
&\sqrt{3x-5}=2x-10 \\
&\text{条件 } x > \frac{5}{3} \text{ かつ } x \geqq 5 \text{ より } x \geqq 5 \\
&\text{このとき両辺を2乗して} \\
&3x-5 = (2x-10)^{2} \\
&3x-5 = 4x^{2}-40x+100 \\
&4x^{2}-43x+105=0 \\
&(4x-15)(x-7)=0 \\
&x = \frac{15}{4}, \ 7 \\
&x \geqq 5 \text{ より } \\
&\therefore x = 7
\end{align*}
99 (3)
\begin{align*}
&\sqrt{x-1}+2=\sqrt{2x+5} \\
&\text{定義域は } x \geqq 1 \\
&\text{両辺正なので2乗して} \\
&x-1+4\sqrt{x-1}+4 = 2x+5 \\
&4\sqrt{x-1} = x+2 \\
&\text{さらに両辺を2乗して} \\
&16(x-1) = (x+2)^{2} \\
&16x-16 = x^{2}+4x+4 \\
&x^{2}-12x+20=0 \\
&(x-2)(x-10)=0 \\
&x=2, \ 10 \\
&\text{これらは } x \geqq 1 \text{ を満たす} \\
&\therefore x=2, \ 10
\end{align*}
100
\begin{align*}
&\text{静水時の船の速さを } x \text{ km/h とする } (x > 3) \\
&\frac{60}{x-3} = \frac{60}{x+3} + 5 \\
&\text{両辺に } (x-3)(x+3) \text{ を掛けて} \\
&60(x+3) = 60(x-3) + 5(x-3)(x+3) \\
&12(x+3) = 12(x-3) + (x^{2}-9) \\
&12x + 36 = 12x - 36 + x^{2} - 9 \\
&x^{2} - 81 = 0 \\
&x = \pm 9 \\
&x > 3 \text{ より } x = 9 \\
&\therefore 9 \text{ km/h}
\end{align*}
101
\begin{align*}
&\frac{x}{b-c} = \frac{y}{c-a} = \frac{z}{a-b} = k \text{ とおくと} \\
&x = k(b-c), \ y = k(c-a), \ z = k(a-b) \\
&(\text{左辺}) = (b+c)x + (c+a)y + (a+b)z \\
&= k(b+c)(b-c) + k(c+a)(c-a) \\
&\quad + k(a+b)(a-b) \\
&= k(b^{2}-c^{2} + c^{2}-a^{2} + a^{2}-b^{2}) \\
&= 0 \\
&\text{よって等式は成り立つ}
\end{align*}
102
\begin{align*}
& x=-1, 2 \text{ を代入すると} \\
&\begin{cases} 1+4a+b-a-24=0 \\ 16-32a+4 b+2a-24=0 \end{cases} \\
&\begin{cases} 3a+b=23 \\ -30a+4b=8 \end{cases} \\
&\text{これを解いて} \\
&a=2, \ b=17 \\
&\text{方程式は} \\
&x^{4}-8x^{3}+17x^{2}+2x-24=0 \\
&(x+1)(x-2)(x^{2}-7x+12)=0 \\
&(x+1)(x-2)(x-3)(x-4)=0 \\
&\text{よって、他の解は} \\
&x=3, \ 4
\end{align*}
103
\begin{align*}
&x^3+2x^2+ax+b \text{ を } x-1 \text{ で割ると} \\
&\text{商は } x^2+3x+a+3, \text{ 余りは } a+b+3 \\
&\text{割り切れるので } a+b+3=0 \\
&\therefore b=-a-3 \\
&\text{さらに商 } x^2+3x+a+3 \text{ が } x-1 \text{ で} \\
&\text{割り切れるので、その余りについて} \\
&1^2+3(1)+a+3 = a+7 = 0 \\
&\text{よって } a=-7 \\
&b=-(-7)-3=4
\end{align*}
104(1)
\begin{align*}
\begin{cases} \omega^{3}=1 \\ 1+\omega+\omega^{2}=0 \end{cases} \\
\text{が成り立つ} \\
\omega^{12} &= (\omega^3)^4 \\
&= 1^4 \\
&= 1
\end{align*}
104(2)
\begin{align*}
\omega^{8}+\omega^{4} &= (\omega^{3})^{2} \cdot \omega^{2} + \omega^{3} \cdot \omega \\
&= 1 \cdot \omega^{2}+1 \cdot \omega \\
&= \omega^{2}+\omega \\
&= -1
\end{align*}
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