とどろき英数塾

\begin{align*} 5x-1 &\geqq x+3 \nr 4x &\geqq 4 \nr x &\geqq 1 \end{align*}

\begin{align*} 4x-3 &< 6x+5 \nr -2x &< 8 \nr x &> -4 \end{align*}

\begin{align*} 3(x+2) &\leqq 7-2x \nr 3x+6 &\leqq 7-2x \nr 5x &\leqq 1 \nr x &\leqq \frac{1}{5} \end{align*}

\begin{align*} \frac{5x-1}{2} &> x+4 \nr 5x-1 &> 2x+8 \nr 3x &> 9 \nr x &> 3 \end{align*}

\begin{align*} &\text{バラで買うとみかん $40$ コで $1200$ 円なので} \nr &\text{$1$ コは箱で買うと多く買うことができる} \nr &\text{残り $x$ コみかんを買うとすると} \nr &30x \leqq 1600-1150 \nr &3x \leqq 45 \nr &x \leqq 15 \nr &\therefore \text{箱とあわせて $55$ コまで買える。} \end{align*}

\begin{align*} &\begin{cases} 3x+4 > x-2 \\ x+2 \geqq 4x-1 \end{cases} \nr &\begin{cases} x > -3 \\ x \leqq 1 \end{cases} \nr &\Leftrightarrow -3 < x \leqq 1 \end{align*}

\begin{align*} &\begin{cases} 4(x-1) < 3x-1 \\ \frac{1}{2}x+1 < \frac{x+4}{3} \end{cases} \nr &\begin{cases} 4x-4 < 3x-1 \\ 3x+6 < 2x+8 \end{cases} \nr &\begin{cases} x < 3 \\ x < 2 \end{cases} \nr &\Leftrightarrow x < 2 \end{align*}

\begin{align*} x^2-4x+3 &< 0 \nr (x-3)(x-1) &< 0 \nr 1 < x &< 3 \end{align*}

\begin{align*} x^2-25 &\geqq 0 \nr (x+5)(x-5) &\geqq 0 \nr x \leqq -5,\ 5 &\leqq x \end{align*}

\begin{align*} 3x^2+5x-2 &\leqq 0 \nr (3x-1)(x+2) &\leqq 0 \nr -2 \leqq x &\leqq \frac{1}{3} \end{align*}

\begin{align*} -4x^2+4x+3 &< 0 \nr 4x^2-4x-3 &> 0 \nr (2x+1)(2x-3) &> 0 \nr x < -\frac{1}{2},\ \frac{3}{2} &< x \end{align*}

\begin{align*} &(x+1)(x-2)(x-3) \leqq 0 \nr &x \leqq -1,\ 2 \leqq x \leqq 3 \end{align*}

\begin{align*} &x^3-3x^2-6x+8 > 0 \nr &(x-1)(x^2-2x-8) > 0 \nr &(x-1)(x-4)(x+2) > 0 \nr &{-}2 < x < 1,\ 4 < x \end{align*}

\begin{align*} &(\text{左辺})-(\text{右辺}) \nr &= a^2-4 \nr &= (a+2)(a-2) \nr &\geqq 0 \quad (\because a \leqq -2) \nr &\text{等号成立は } a=-2 \text{ のとき} \end{align*}

\begin{align*} &(\text{左辺})-(\text{右辺}) \nr &= a-c-(b-d) \nr &= (a-b)+(d-c) \nr &> 0 \quad (\because a>b,\ d>c) \end{align*}

\begin{align*} &(\text{左辺})-(\text{右辺}) \nr &= x^2+4y^2-4xy \nr &= (x-2y)^2 \nr &\geqq 0 \nr &\text{等号成立は } x=2y \text{ のとき} \end{align*}

\begin{align*} &(\text{左辺}) = (x-4)^2 \geqq 0 \nr &\text{等号成立は } x=4 \text{ のとき} \end{align*}

\begin{align*} &(\text{左辺}) = (x+2)^2+1 > 0 \end{align*}

\begin{align*} &\frac{a}{2}>0,\ \frac{1}{2a}>0 \text{ なので} \ret \text{相加平均と相乗平均の関係より} \nr &(\text{左辺}) = \frac{a}{2}+\frac{1}{2a} \nr &\geqq 2\sqrt{\frac{a}{2}\cdot\frac{1}{2a}} \nr &= 1 = (\text{右辺}) \nr &\text{等号成立は } \frac{a}{2}=\frac{1}{2a} \nr &\text{すなわち } a=1 \text{ のとき} \end{align*}

\begin{align*} &\frac{b}{2a}>0,\ \frac{2a}{b}>0 \text{ なので} \ret \text{相加平均と相乗平均の関係より} \nr &(\text{左辺}) \geqq 2\sqrt{\frac{b}{2a}\cdot\frac{2a}{b}} \nr &= 2 \nr &\text{等号成立は } \frac{b}{2a}=\frac{2a}{b} \nr &b^2 = 4a^2 \nr &b>0,\ a>0 \text{ なので } b=2a \text{ のとき} \end{align*}

\begin{align*} A &= \{x \mid 3 \leqq x\} \nr \bar{A} &= \{1,\ 2\} \end{align*}

\begin{align*} &A = \{1,3,5,7,9\} \nr &B = \{3,4,5,6,7,8\} \nr &A \cap B = \{3,5,7\} \end{align*}

\begin{align*} &A \cup B = \{1,3,4,5,6,7,8,9\} \end{align*}

\begin{align*} &\overline{A \cap B} = \{1,2,4,6,8,9,10\} \end{align*}

\begin{align*} &\bar{A} \cup \bar{B} = \overline{A \cap B} \ret = \{1,2,4,6,8,9,10\} \end{align*}

\begin{align*} &(\text{左辺}) = \overline{(\bar{A} \cap \bar{B}) \cup \bar{C}} \nr &= \overline{(\overline{A \cup B}) \cup \bar{C}} \nr &= \overline{\overline{(A \cup B) \cap C}} \nr &= (A \cup B) \cap C \nr &= (\text{右辺}) \end{align*}

\begin{align*} &\text{偽} \quad (x=-2) \end{align*}

\begin{align*} &x^2<1 \Leftrightarrow -1<x<1 \nr &\Rightarrow x<1 \nr &\text{真} \end{align*}

\begin{align*} &x^2=4 \Leftrightarrow x=\pm 2 \nr &x=\pm 2 \Leftarrow x=2 \text{ より必要条件} \end{align*}

\begin{align*} &x^2+y^2=0 \Leftrightarrow x^2=y^2=0 \nr &\Leftrightarrow x=y=0 \text{ より必要十分条件} \end{align*}

\begin{align*} &\text{$4$ の約数} \Rightarrow \text{$8$ の約数} \ret \text{より十分条件} \end{align*}

\begin{align*} &\text{二等辺三角形} \Leftarrow \text{正三角形} \ret \text{より必要条件} \end{align*}

\begin{align*} &p: n>3 \nr &\bar{p}: n \leqq 3 \nr &\bar{p} = \{1,2,3\} \end{align*}

\begin{align*} &x \neq -1 \text{ かつ } x \neq 1 \end{align*}

\begin{align*} &x \leqq 0 \text{ または } y \leqq 0 \end{align*}

\begin{align*} &\text{逆: } x=1 \Rightarrow (x-1)(x-2)=0 \nr &\text{裏: } (x-1)(x-2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \nr &\text{対偶: } x \neq 1 \ret \Rightarrow (x-1)(x-2) \neq 0 \end{align*}

\begin{align*} &\text{逆: } x+y>0 \ret \Rightarrow x>0 \text{ かつ } y>0 \nr &\text{裏: } x \leqq 0 \text{ または } y \leqq 0 \ret \Rightarrow x+y \leqq 0 \nr &\text{対偶: } x+y \leqq 0 \ret \Rightarrow x \leqq 0 \text{ または } y \leqq 0 \end{align*}

\begin{align*} &\text{対偶「} x \leqq 0 \text{ かつ } y \leqq 0 \ret \text{ならば } xy \geqq 0 \text{」を示す} \nr &\begin{cases} x \leqq 0 \\ y \leqq 0 \end{cases} \text{ なので } xy \geqq 0 \nr &\text{対偶が真なので、もとの命題も真} \end{align*}

\begin{align*} 3x+4 &< 5x-8 \nr -2x &< -12 \nr x &> 6 \end{align*}

\begin{align*} \frac{2x+1}{3} &\leqq \frac{1}{4}x+2 \nr 8x+4 &\leqq 3x+24 \nr 5x &\leqq 20 \nr x &\leqq 4 \end{align*}

\begin{align*} &\begin{cases} 4x-3 > x-5 \\ \frac{2}{3}x+\frac{1}{6} \leqq \frac{1}{2}x+1 \end{cases} \nr &\begin{cases} 3x > -2 \\ 4x+1 \leqq 3x+6 \end{cases} \nr &\begin{cases} x > -\frac{2}{3} \\ x \leqq 5 \end{cases} \nr &\Leftrightarrow -\frac{2}{3} < x \leqq 5 \end{align*}

\begin{align*} x^2+3x-4 &\leqq 0 \nr (x+4)(x-1) &\leqq 0 \nr -4 \leqq x &\leqq 1 \end{align*}

\begin{align*} 3x^2-8x+4 &> 0 \nr (3x-2)(x-2) &> 0 \nr x < \frac{2}{3},\ 2 &< x \end{align*}

\begin{align*} &x(x-1)(x-2) \geqq 0 \nr &0 \leqq x \leqq 1,\ 2 \leqq x \end{align*}

\begin{align*} &2x^3-x^2-2x+1 < 0 \nr &(x-1)(2x^2+x-1) < 0 \nr &(x-1)(2x-1)(x+1) < 0 \nr &x < -1,\ \frac{1}{2} < x < 1 \end{align*}

\begin{align*} &\text{判別式を } D \text{ とすると} \nr &D = (m+3)^2-4 \cdot 4m \nr &= m^2-10m+9 \nr &= (m-1)(m-9) > 0 \nr &m<1,\ 9<m \end{align*}

\begin{align*} &a>b \nr &ab>0 \text{ なので、両辺に } \frac{1}{ab} \text{ をかけて} \nr &a \times \frac{1}{ab} > b \times \frac{1}{ab} \nr &\frac{1}{b} > \frac{1}{a} \end{align*}

\begin{align*} &(\text{左辺})-(\text{右辺}) \nr &= (x^2y^2+x^2+y^2+1) \ret -(x^2y^2+2xy+1) \nr &= x^2+y^2-2xy \nr &= (x-y)^2 \nr &\geqq 0 \nr &\text{等号成立は } x=y \text{ のとき} \end{align*}

\begin{align*} &(\text{左辺}) = x^2-2xy+2y^2 \nr &= (x-y)^2+y^2 \nr &\geqq 0 \nr &\text{等号成立は } x-y=0 \text{ かつ } y=0 \nr &\text{すなわち } x=y=0 \text{ のとき} \end{align*}

\begin{align*} &A \cap \bar{B} = \{4,6,10\} \end{align*}

\begin{align*} &\overline{A \cup B} = \{1,3,9\} \end{align*}

\begin{align*} &x=y=0 \Rightarrow xy=0 \text{ は真} \nr &x=y=0 \Leftarrow xy=0 \text{ は偽} \ret (\text{反例 } x=1,\ y=0) \nr &\text{よって十分条件} \end{align*}

\begin{align*} &x^2=0 \Leftrightarrow x=0 \nr &\text{よって必要十分条件} \end{align*}

\begin{align*} &x^2-3x+2>0 \Leftrightarrow (x-1)(x-2)>0 \ret \Leftrightarrow x<1,\ 2<x \nr &x<1,\ 2<x \Leftarrow x>2 \nr &\text{よって必要条件} \end{align*}

\begin{align*} &\text{逆: } x>0 \text{ かつ } y>0 \Rightarrow xy>0 \ret \text{（真）} \nr &\text{裏: } xy \leqq 0 \ret \Rightarrow x \leqq 0 \text{ または } y \leqq 0 \text{（真）} \nr &\text{対偶: } x \leqq 0 \text{ または } y \leqq 0 \ret \Rightarrow xy \leqq 0 \text{（偽）} \ret \text{反例 } x=y=-1 \end{align*}

\begin{align*} &x-2 \leqq 4x+1 \leqq 2(x+3) \nr &\begin{cases} x-2 \leqq 4x+1 \\ 4x+1 \leqq 2(x+3) \end{cases} \nr &\begin{cases} -3x \leqq 3 \\ 2x \leqq 5 \end{cases} \nr &\begin{cases} x \geqq -1 \\ x \leqq \frac{5}{2} \end{cases} \nr &{-}1 \leqq x \leqq \frac{5}{2} \end{align*}

\begin{align*} &\begin{cases} x^2-9x+8 \leqq 0 \\ \frac{1}{2}x+3 < x \end{cases} \nr &\begin{cases} (x-8)(x-1) \leqq 0 \\ -\frac{1}{2}x < -3 \end{cases} \nr &\begin{cases} 1 \leqq x \leqq 8 \\ x > 6 \end{cases} \nr &\Leftrightarrow 6 < x \leqq 8 \end{align*}

\begin{align*} &A: x^2-4x-12 < 0 \nr &(x-6)(x+2) < 0 \nr &{-}2 < x < 6 \nr &B: x^2+5x \leqq 0 \nr &x(x+5) \leqq 0 \nr &{-}5 \leqq x \leqq 0 \nr &A \cap B = \{x \mid -2 < x \leqq 0\} \nr &A \cup B = \{x \mid -5 \leqq x < 6\} \end{align*}

\begin{align*} &\frac{x-1}{x^2-x-2} > 0 \nr &\Leftrightarrow \begin{cases} x-1 > 0 \\ (x-2)(x+1) > 0 \end{cases} \ret \text{または} \begin{cases} x-1 < 0 \\ (x-2)(x+1) < 0 \end{cases} \nr &\Leftrightarrow \begin{cases} x > 1 \\ x < -1,\ 2 < x \end{cases} \ret \text{または} \begin{cases} x < 1 \\ -1 < x < 2 \end{cases} \nr &\Leftrightarrow 2 < x \text{ または } -1 < x < 1 \end{align*}

\begin{align*} &\frac{2}{x-1} > \frac{1}{x+1} \nr &\text{両辺に } (x-1)^2(x+1)^2 \text{ をかけて} \nr &2(x-1)(x+1)^2 > (x-1)^2(x+1) \nr &(x-1)(x+1)\{2(x+1)-(x-1)\} > 0 \nr &(x-1)(x+1)(x+3) > 0 \nr &{-}3 < x < -1,\ 1 < x \end{align*}

\begin{align*} &\abs{x-7} > 5x+2 \nr &\text{i) } x-7<0 \text{ すなわち } x<7 \text{ のとき} \nr &{-}x+7 > 5x+2 \nr &{-}6x > -5 \nr &x < \frac{5}{6} \nr &x<7 \text{ とあわせて } x < \frac{5}{6} \nr &\text{ii) } x-7 \geqq 0 \text{ すなわち } x \geqq 7 \text{ のとき} \nr &x-7 > 5x+2 \nr &{-}4x > 9 \nr &x < -\frac{9}{4} \nr &x \geqq 7 \text{ をみたさない} \nr &\text{i)ii) より } x < \frac{5}{6} \end{align*}

\begin{align*} &\abs{x-2}+\abs{x-3} > 5 \nr &\text{i) } x<2 \text{ のとき} \nr &{-}x+2-x+3 > 5 \nr &{-}2x > 0 \nr &x < 0 \nr &x<2 \text{ とあわせて } x<0 \nr &\text{ii) } 2 \leqq x < 3 \text{ のとき} \nr &x-2-x+3 > 5 \nr &1 > 5 \nr &\text{解なし} \nr &\text{iii) } 3 \leqq x \text{ のとき} \nr &x-2+x-3 > 5 \nr &2x > 10 \nr &x > 5 \nr &3 \leqq x \text{ とあわせて } x>5 \nr &\text{i)〜iii) より } x<0,\ 5<x \end{align*}

\begin{align*} &(a^2+1)-(a-a^2) \nr &= 2a^2-a+1 \nr &= 2\left(a-\frac{1}{4}\right)^2+\frac{7}{8} \nr &> 0 \nr &\therefore a^2+1 > a-a^2 \end{align*}

\begin{align*} &x^2+(a+1)x-a(a-1)(a^2+1) < 0 \nr &\{x+(a^2+1)\}\{x-a(a-1)\} < 0 \nr &\text{(1) より } -(a^2+1) < a(a-1) \text{ なので} \nr &{-}(a^2+1) < x < a(a-1) \end{align*}

\begin{align*} &\text{解と係数の関係より、} \ret \text{$2$ 解を } \alpha,\ \beta \text{ とすると} \nr &\begin{cases} \alpha+\beta = 3 \\ \alpha\beta = -(k+1)(k-2) \end{cases} \nr &\text{「} \alpha<3 \text{ かつ } \beta<3 \text{」} \nr &\Leftrightarrow \begin{cases} (\alpha-3)+(\beta-3) < 0 \\ (\alpha-3)(\beta-3) > 0 \end{cases} \nr &\Leftrightarrow \begin{cases} \alpha+\beta-6 < 0 \\ \alpha\beta-3(\alpha+\beta)+9 > 0 \end{cases} \nr &\Leftrightarrow \begin{cases} 3-6 < 0 \\ -(k+1)(k-2)-9+9 > 0 \end{cases} \nr &\Leftrightarrow \begin{cases} \text{すべての $k$ について成り立つ} \\ (k+1)(k-2) < 0 \end{cases} \nr &\Leftrightarrow -1 < k < 2 \end{align*}

\begin{align*} &\text{縦と横の長さを } a,\ b \text{ とする} \nr &\text{周の長さ } l=2a+2b \text{ は一定である} \nr &\text{面積 } S=ab \nr &a>0,\ b>0 \text{ なので} \ret \text{相加平均と相乗平均の関係より} \nr &2\sqrt{ab} \leqq a+b = \frac{1}{2}l \nr &\text{両辺正なので $2$ 乗して} \nr &4ab \leqq \frac{1}{4}l^2 \nr &ab \leqq \frac{1}{16}l^2 \nr &\text{等号成立は } a=b \text{ のとき} \nr &\therefore a=b \text{ すなわち正方形で} \ret \text{面積は最大となる} \end{align*}

\begin{align*} &\begin{cases} x^2-xy-6y^2=0 & \cdots \text{①} \\ x^2-2y^2=4 & \cdots \text{②} \end{cases} \nr &\text{① より } (x-3y)(x+2y)=0 \nr &x=3y,\ -2y \nr &\text{i) } x=3y \text{ のとき} \nr &\text{② に代入 } 9y^2-2y^2=4 \nr &y^2 = \frac{4}{7} \nr &y = \pm\frac{2}{\sqrt{7}},\quad x = \pm\frac{6}{\sqrt{7}} \nr &\text{ii) } x=-2y \text{ のとき} \nr &\text{② に代入 } 4y^2-2y^2=4 \nr &y^2 = 2 \nr &y = \pm\sqrt{2},\quad x = \mp 2\sqrt{2} \nr &\text{i)ii) より} \ret (x,y) = \left(\pm\frac{6}{7}\sqrt{7},\ \pm\frac{2}{7}\sqrt{7}\right), \ret (\pm 2\sqrt{2},\ \mp\sqrt{2}) \quad \text{（複号同順）} \end{align*}

\begin{align*} &\begin{cases} 3x^2-5xy+2y^2=17 & \cdots \text{①} \\ x^2+4xy-5y^2=0 & \cdots \text{②} \end{cases} \nr &\text{② より } (x+5y)(x-y)=0 \nr &x=y,\ -5y \nr &\text{i) } x=y \text{ のとき} \nr &\text{① に代入 } 3y^2-5y^2+2y^2=17 \nr &0=17 \nr &\text{解なし} \nr &\text{ii) } x=-5y \text{ のとき} \nr &\text{① に代入 } 75y^2+25y^2+2y^2=17 \nr &102y^2 = 17 \nr &y^2 = \frac{1}{6} \nr &y = \pm\frac{1}{\sqrt{6}},\quad x = \mp\frac{5}{\sqrt{6}} \nr &\text{i)ii) より} \ret (x,y) = \left(\pm\frac{5}{\sqrt{6}},\ \mp\frac{1}{\sqrt{6}}\right) \ret \text{（複号同順）} \end{align*}

\begin{align*} &\begin{cases} x(x-y)=12 \\ x(x+y)=60 \end{cases} \nr &\begin{cases} x^2-xy=12 & \cdots \text{①} \\ x^2+xy=60 & \cdots \text{②} \end{cases} \nr &\text{①}+\text{②} \quad 2x^2=72 \nr &x = \pm 6 \nr &\text{i) } x=6 \text{ のとき } 36+6y=60 \nr &y = 4 \nr &\text{ii) } x=-6 \text{ のとき } 36-6y=60 \nr &y = -4 \nr &\text{i)ii) より } (x,y)=(\pm 6,\ \pm 4) \ret \text{（複号同順）} \end{align*}

\begin{align*} &\begin{cases} 2x^2-xy=12 & \cdots \text{①} \\ 2xy+y^2=16 & \cdots \text{②} \end{cases} \nr &\text{①} \times 4-\text{②} \times 3 \nr &8x^2-10xy-3y^2=0 \nr &(4x+y)(2x-3y)=0 \nr &x = -\frac{y}{4},\ \frac{3}{2}y \nr &\text{② に代入} \nr &\text{i) } x=-\frac{y}{4} \text{ のとき} \nr &{-}\frac{y^2}{2}+y^2=16 \nr &y^2 = 32 \nr &y = \pm 4\sqrt{2},\quad x = \mp\sqrt{2} \nr &\text{ii) } x=\frac{3}{2}y \text{ のとき} \nr &3y^2+y^2=16 \nr &y^2 = 4 \nr &y = \pm 2,\quad x = \pm 3 \nr &\text{i)ii) より} \ret (x,y) = (\mp\sqrt{2},\ \pm 4\sqrt{2}),\ (\pm 3,\ \pm 2) \ret \text{（複号同順）} \end{align*}

\begin{align*} &(\text{左辺})-(\text{右辺}) \nr &= (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \ret -(ax+by+cz)^2 \nr &= a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2 \ret +b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2 \ret -(a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2abxy \ret +2bcyz+2cazx) \nr &= (a^2y^2-2abxy+b^2x^2) \ret +(b^2z^2-2bcyz+c^2y^2) \ret +(c^2x^2-2cazx+a^2z^2) \nr &= (ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2 \nr &\geqq 0 \nr &\text{等号成立は } ay=bx \text{ かつ } bz=cy \ret \text{かつ } cx=az \text{ のとき} \end{align*}

\begin{align*} &\text{I]\ } \abs{\abs{a}-\abs{b}} \leqq \abs{a+b} \text{ を示す} \nr &(\text{左辺}) \geqq 0,\ (\text{右辺}) \geqq 0 \text{ なので} \ret (\text{左辺})^2 \leqq (\text{右辺})^2 \text{ を示す} \nr &(\text{右辺})^2-(\text{左辺})^2 \nr &= (a+b)^2-(\abs{a}-\abs{b})^2 \nr &= a^2+2ab+b^2-(a^2-2\abs{ab}+b^2) \nr &= 2(ab+\abs{ab}) \nr &\geqq 0 \nr &\text{等号成立は } ab \leqq 0 \text{ のとき} \nr &\text{II]\ } \abs{a+b} \leqq \abs{a}+\abs{b} \text{ を示す} \nr &(\text{左辺}) \geqq 0,\ (\text{右辺}) \geqq 0 \text{ なので} \ret (\text{左辺})^2 \leqq (\text{右辺})^2 \text{ を示す} \nr &(\text{右辺})^2-(\text{左辺})^2 \nr &= (\abs{a}+\abs{b})^2-(a+b)^2 \nr &= a^2+2\abs{ab}+b^2-(a^2+2ab+b^2) \nr &= 2(\abs{ab}-ab) \nr &\geqq 0 \nr &\text{等号成立は } ab \geqq 0 \text{ のとき} \nr &\text{I]II] より不等式は成り立つ} \end{align*}