とどろき英数塾

\begin{align*} f(x) &= 3x+1 \nr f(2) &= 6+1 = 7 \nr f(-2) &= -6+1 = -5 \nr f(a+2) &= 3(a+2)+1 = 3a+7 \nr f(a-2) &= 3(a-2)+1 = 3a-5 \end{align*}

\begin{align*} y &= 2x+1 \quad (-1 \leqq x \leqq 2) \nr \text{値域：} & -1 \leqq y \leqq 5 \end{align*}

\begin{align*} y &= -2x+4 \quad (-1 \leqq x \leqq 1) \nr \text{値域：} & 2 \leqq y \leqq 6 \end{align*}

\begin{align*} y &= x^2-1 \nr \text{軸：} & x=0 \nr \text{頂点：} & (0,\ -1) \end{align*}

\begin{align*} y &= -(x-1)^2 \nr \text{軸：} & x=1 \nr \text{頂点：} & (1,\ 0) \end{align*}

\begin{align*} y &= 3(x+1)^2-2 \nr \text{軸：} & x=-1 \nr \text{頂点：} & (-1,\ -2) \end{align*}

\begin{align*} y &= -\frac{1}{2}(x-2)^2+2 \nr \text{軸：} & x=2 \nr \text{頂点：} & (2,\ 2) \end{align*}

\begin{align*} &x \to x-3 \text{ でおきかえて} \nr y &= 2(x-3)^2 \end{align*}

\begin{align*} &x \to x-1,\ y \to y-2 \text{ でおきかえて} \nr y &= 2(x-1)^2+2 \end{align*}

\begin{align*} y &= 2(x+2)^2-1 \end{align*}

\begin{align*} y &= (x-1)^2 \nr \text{軸：} & x=1 \nr \text{頂点：} & (1,\ 0) \end{align*}

\begin{align*} y &= 2x^2-4x+3 \nr &= 2(x-1)^2+1 \nr \text{軸：} & x=1 \nr \text{頂点：} & (1,\ 1) \end{align*}

\begin{align*} y &= -x^2+4x-3 \nr &= -(x-2)^2+1 \nr \text{軸：} & x=2 \nr \text{頂点：} & (2,\ 1) \end{align*}

\begin{align*} y &= x^2-x-2 \nr &= \left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{9}{4} \nr \text{軸：} & x=\frac{1}{2} \nr \text{頂点：} & \left(\frac{1}{2},\ -\frac{9}{4}\right) \end{align*}

\begin{align*} y &= -\frac{1}{2}x^2+x \nr &= -\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{2} \nr \text{軸：} & x=1 \nr \text{頂点：} & \left(1,\ \frac{1}{2}\right) \end{align*}

\begin{align*} y &= -2x^2-3x+2 \nr &= -2\left(x+\frac{3}{4}\right)^2+\frac{25}{8} \nr \text{軸：} & x=-\frac{3}{4} \nr \text{頂点：} & \left(-\frac{3}{4},\ \frac{25}{8}\right) \end{align*}

\begin{align*} y &= a(x-3)^2+5 \nr -4 &= a(-3)^2+5 \nr a &= -1 \nr y &= -(x-3)^2+5 \end{align*}

\begin{align*} y &= ax^2+q \nr &(-1,\ 1),\ (2,\ -5) \text{ を通るので} \nr &\begin{cases} 1 = a+q \\ -5 = 4a+q \end{cases} \text{より} \begin{cases} a = -2 \\ q = 3 \end{cases} \nr y &= -2x^2+3 \end{align*}

\begin{align*} y &= a(x-2)^2+q \nr &(0,\ 5),\ (3,\ 2) \text{ を通るので} \nr &\begin{cases} 5 = 4a+q \\ 2 = a+q \end{cases} \text{より} \begin{cases} a = 1 \\ q = 1 \end{cases} \nr y &= (x-2)^2+1 \end{align*}

\begin{align*} &y = ax^2+bx+c \text{ とすると} \nr &\begin{cases} 0 = a+b+c \\ 3 = c \\ -1 = 4a+2b+c \end{cases} \text{より} \begin{cases} a = 1 \\ b = -4 \\ c = 3 \end{cases} \nr y &= x^2-4x+3 \nr &= (x-2)^2-1 \nr \text{軸：} & x=2 \nr \text{頂点：} & (2,\ -1) \end{align*}

\begin{align*} &y = a(x-3)(x+2) \text{ とすると} \nr 6 &= a \times (-3) \times 2 \nr a &= -1 \nr y &= -(x-3)(x+2) \nr &= -x^2+x+6 \nr &= -\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{25}{4} \nr \text{軸：} & x=\frac{1}{2} \nr \text{頂点：} & \left(\frac{1}{2},\ \frac{25}{4}\right) \end{align*}

\begin{align*} y &= x^2-4x+8 \nr &= (x-2)^2+4 \nr &x=2 \text{ で最小値 } 4 \text{、最大値なし} \end{align*}

\begin{align*} y &= -x^2+6x-1 \nr &= -(x-3)^2+8 \nr &x=3 \text{ で最大値 } 8 \text{、最小値なし} \end{align*}

\begin{align*} y &= \frac{1}{2}x^2-2x \nr &= \frac{1}{2}(x-2)^2-2 \nr &x=2 \text{ で最小値 } -2 \text{、最大値なし} \end{align*}

\begin{align*} y &= -3x^2+6x+2 \nr &= -3(x-1)^2+5 \nr &x=1 \text{ で最大値 } 5 \text{、最小値なし} \end{align*}

\begin{align*} y &= x^2-4x \nr &= (x-2)^2-4 \quad (0 \leqq x \leqq 3) \nr &x=2 \text{ で最小値 } -4,\ x=0 \text{ で最大値 } 0 \end{align*}

\begin{align*} y &= x^2-6x+7 \nr &= (x-3)^2-2 \quad (0 \leqq x \leqq 2) \nr &x=2 \text{ で最小値 } -1,\ x=0 \text{ で最大値 } 7 \end{align*}

\begin{align*} y &= -x^2+2x+2 \nr &= -(x-1)^2+3 \quad (-1 \leqq x \leqq 1) \nr &x=1 \text{ で最大値 } 3,\ x=-1 \text{ で最小値 } -1 \end{align*}

\begin{align*} y &= 2x^2-8x+5 \nr &= 2(x-2)^2-3 \quad (0 \leqq x \leqq 4) \nr &x=2 \text{ で最小値 } -3,\ x=0,\ 4 \text{ で最大値 } 5 \end{align*}

\begin{align*} y &= -\frac{x^2}{2}-x+3 \nr &= -\frac{1}{2}(x+1)^2+\frac{7}{2} \quad (-2 \leqq x \leqq 2) \nr &x=-1 \text{ で最大値 } \frac{7}{2},\ x=2 \text{ で最小値 } -1 \end{align*}

\begin{align*} y &= 2(x-1)(x-2) \nr &= 2x^2-6x+4 \nr &= 2\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{2} \quad (0 \leqq x \leqq 2) \nr &x=\frac{3}{2} \text{ で最小値 } -\frac{1}{2},\ x=0 \text{ で最大値 } 4 \end{align*}

\begin{align*} &\text{高さは } 8-x \text{、面積を } S \text{ とすると} \nr S &= \frac{1}{2}x(8-x) \nr &= -\frac{1}{2}x^2+4x \nr &= -\frac{1}{2}(x-4)^2+8 \quad (0 < x < 8) \nr &x=4 \text{ で最大値 } 8 \text{ をとる} \end{align*}

\begin{align*} &2x^2+5x+1 = 0 \nr x &= \frac{-5 \pm \sqrt{25-8}}{4} \nr &= \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{4} \nr &\therefore \text{2点で交わる} \end{align*}

\begin{align*} &3x^2-7x+5 = 0 \text{ の判別式を } D \text{ とすると} \nr D &= 49-4 \times 3 \times 5 \nr &= -11 < 0 \nr &\therefore \text{共有点なし} \end{align*}

\begin{align*} &\frac{1}{3}x^2-2x+3 = 0 \nr &x^2-6x+9 = 0 \nr &(x-3)^2 = 0 \nr &x = 3 \nr &\therefore \text{接する} \end{align*}

\begin{align*} &x^2+3x+k = 0 \text{ の判別式を } D \text{ とすると} \nr D &= 9-4k > 0 \nr k &< \frac{9}{4} \end{align*}

\begin{align*} &4x^2-2kx+9 = 0 \text{ の判別式を } D \text{ とすると} \nr \frac{D}{4} &= k^2-4 \times 9 = 0 \nr k^2 &= 36 \nr k &= \pm 6 \end{align*}

\begin{align*} &kx^2+x-1 = 0 \text{ の判別式を } D \text{ とすると} \nr D &= 1+4k < 0 \nr k &< -\frac{1}{4} \end{align*}

\begin{align*} x^2+4x+3 &\geqq 0 \nr (x+3)(x+1) &\geqq 0 \nr x \leqq -3,\ -1 &\leqq x \end{align*}

\begin{align*} x^2-2x-1 &< 0 \nr 1-\sqrt{2} < x &< 1+\sqrt{2} \end{align*}

\begin{align*} x^2-6x+9 &> 0 \nr (x-3)^2 &> 0 \nr x &\neq 3 \end{align*}

\begin{align*} 4x^2-12x+9 &< 0 \nr (2x-3)^2 &< 0 \nr &\text{解なし} \end{align*}

\begin{align*} -x^2+x-\frac{1}{4} &\leqq 0 \nr 4x^2-4x+1 &\geqq 0 \nr (2x-1)^2 &\geqq 0 \nr &\text{解はすべての実数} \end{align*}

\begin{align*} \frac{1}{2}x^2-4x+8 &\leqq 0 \nr x^2-8x+16 &\leqq 0 \nr (x-4)^2 &\leqq 0 \nr x &= 4 \end{align*}

\begin{align*} -4x^2+6x-3 &< 0 \nr 4x^2-6x+3 &> 0 \nr 4\left(x-\frac{3}{4}\right)^2-\frac{9}{4}+3 &> 0 \nr 4\left(x-\frac{3}{4}\right)^2+\frac{3}{4} &> 0 \nr &\text{解はすべての実数} \end{align*}

\begin{align*} 2x^2-4x+3 &\leqq 0 \nr 2(x-1)^2+1 &\leqq 0 \nr &\text{解なし} \end{align*}

\begin{align*} y &= \frac{1}{2}(x+2)^2+1 \end{align*}

\begin{align*} y &= x^2+3x \nr &= \left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4} \nr \text{軸：} & x=-\frac{3}{2} \nr \text{頂点：} & \left(-\frac{3}{2},\ -\frac{9}{4}\right) \end{align*}

\begin{align*} &y = a(x-2)^2-5 \text{ とおける} \nr 7 &= a \times 4-5 \nr a &= 3 \nr y &= 3(x-2)^2-5 \end{align*}

\begin{align*} &y = a(x+1)^2+q \text{ とおける} \nr &\begin{cases} 1 = a+q \\ 7 = 4a+q \end{cases} \text{より} \begin{cases} a = 2 \\ q = -1 \end{cases} \nr y &= 2(x+1)^2-1 \end{align*}

\begin{align*} &y = ax^2+bx+c \text{ とすると} \nr &\begin{cases} 0 = a+b+c \\ 1 = c \\ 3 = 4a+2b+c \end{cases} \text{より} \begin{cases} a = 2 \\ b = -3 \\ c = 1 \end{cases} \nr y &= 2x^2-3x+1 \end{align*}

\begin{align*} &x \to -x \text{ でおきかえて} \nr y &= (-x)^2+2(-x)-3 \nr &= x^2-2x-3 \end{align*}

\begin{align*} &x \to -x,\ y \to -y \text{ でおきかえて} \nr -y &= (-x)^2+2(-x)-3 \nr y &= -x^2+2x+3 \end{align*}

\begin{align*} y &= -x^2+6x+1 \nr &= -(x-3)^2+10 \quad \text{頂点 } (3,\ 10) \nr y &= -x^2-2x+3 \nr &= -(x+1)^2+4 \quad \text{頂点 } (-1,\ 4) \nr &\therefore x \text{ 方向に } 4,\ y \text{ 方向に } 6 \text{ 平行移動} \end{align*}

\begin{align*} y &= -x^2+4x+1 \nr &= -(x-2)^2+5 \quad (-1 \leqq x \leqq 1) \nr &x=-1 \text{ で最小値 } -4, \ret x=1 \text{ で最大値 } 4 \text{ をとる} \end{align*}

\begin{align*} y &= -(x-2)^2+5 \quad (1 \leqq x \leqq 3) \nr &x=2 \text{ で最大値 } 5, \ret x=1,\ 3 \text{ で最小値 } 4 \text{ をとる} \end{align*}

\begin{align*} &x \text{ cm の幅で折り曲げるとする } (0 < x < 8) \nr &\text{断面積を } S \text{ とすると} \nr S &= x(16-2x) \nr &= -2x^2+16x \nr &= -2(x-4)^2+32 \nr &x=4 \text{ で最大値 } 32 \text{ をとる} \nr &\therefore 4 \text{ cm} \end{align*}

\begin{align*} &x^2-6x-k = 0 \text{ の判別式を } D \text{ とすると} \nr \frac{D}{4} &= 9+k \end{align*}

\begin{align*} &D > 0 \text{ すなわち } 9+k > 0 \nr &k > -9 \end{align*}

\begin{align*} &D = 0 \text{ すなわち } 9+k = 0 \nr &k = -9 \end{align*}

\begin{align*} &D < 0 \text{ すなわち } 9+k < 0 \nr &k < -9 \end{align*}

\begin{align*} 2x^2-3x-2 &\leqq 0 \nr (2x+1)(x-2) &\leqq 0 \nr -\frac{1}{2} \leqq x &\leqq 2 \end{align*}

\begin{align*} x^2+8x+16 &\geqq 0 \nr (x+4)^2 &\geqq 0 \nr &\text{解はすべての実数} \end{align*}

\begin{align*} 3x^2+6x+4 &< 0 \nr 3(x+1)^2+1 &< 0 \nr &\text{解なし} \end{align*}

\begin{align*} &y = a(x-p)^2 \text{ とおける} \nr &\begin{cases} 1 = a(-2-p)^2 \\ 9 = a(2-p)^2 \end{cases} \nr &p=2 \text{ は解でないので、両辺わって} \nr &\frac{1}{9} = \frac{(2+p)^2}{(2-p)^2} \nr &(2-p)^2 = 9(2+p)^2 \nr &p^2-4p+4 = 9p^2+36p+36 \nr &8p^2+40p+32 = 0 \nr &p^2+5p+4 = 0 \nr &(p+1)(p+4) = 0 \nr &p = -1,\ -4 \nr &a = \frac{1}{(p+2)^2} \text{ より} \nr &(a,\ p) = (1,\ -1), \ret \left(\frac{1}{4},\ -4\right) \nr &y = (x+1)^2 \ret \text{または } y = \frac{1}{4}(x+4)^2 \end{align*}

\begin{align*} &x^2+2(m+1)x+m = 0 \ret \text{の判別式を } D \text{ とすると} \nr \frac{D}{4} &= (m+1)^2-m \nr &= m^2+m+1 \nr &= \left(m+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4} > 0 \nr &\therefore x \text{ 軸と2点で交わる} \end{align*}

\begin{align*} &\text{交点の } x \text{ 座標は} \ret x = -(m+1) \pm \sqrt{m^2+m+1} \nr &\text{2交点間の距離は} \nr &\left(-(m+1)+\sqrt{m^2+m+1}\right) \ret -\left(-(m+1)-\sqrt{m^2+m+1}\right) \nr &= 2\sqrt{\left(m+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}} \nr &m = -\frac{1}{2} \text{ のとき最小となる} \end{align*}

\begin{align*} f(x) &= x^2+2mx+1 \nr &= (x+m)^2-m^2+1 \text{ とすると} \nr &\text{題意をみたすための条件は} \nr &\begin{cases} f(-m) = -m^2+1 < 0 \\ f(0) = 1 > 0 \\ f(2) = 4+4m+1 > 0 \\ \text{軸 } 0 < -m < 2 \end{cases} \nr &\Leftrightarrow \begin{cases} m < -1,\ 1 < m \\ \text{すべての実数} \\ -\dfrac{5}{4} < m \\ -2 < m < 0 \end{cases} \nr &\Leftrightarrow -\frac{5}{4} < m < -1 \end{align*}

\begin{align*} &y = 4-x \geqq 0 \nr &x \geqq 0 \text{ とあわせて } 0 \leqq x \leqq 4 \nr 3x^2+2y^2 &= 3x^2+2(4-x)^2 \nr &= 3x^2+32-16x+2x^2 \nr &= 5x^2-16x+32 \nr &= 5\left(x-\frac{8}{5}\right)^2-\frac{64}{5}+32 \nr &= 5\left(x-\frac{8}{5}\right)^2+\frac{96}{5} \quad (0 \leqq x \leqq 4) \nr &x=\frac{8}{5} \text{ で最小値 } \frac{96}{5} \text{ をとる。} \ret \text{このとき } y=\frac{12}{5} \nr &x=4 \text{ で最大値 } 48 \text{ をとる。} \ret \text{このとき } y=0 \end{align*}

\begin{align*} y &= x^2-2ax+a^2-2 \nr &= (x-a)^2-2 \quad (0 \leqq x \leqq 2) \end{align*}

\begin{align*} &x=0 \text{ で最小値 } a^2-2 \text{ をとる} \end{align*}

\begin{align*} &x=a \text{ で最小値 } -2 \text{ をとる} \end{align*}

\begin{align*} &x=2 \text{ で最小値 } a^2-4a+2 \text{ をとる} \end{align*}

\begin{align*} &\text{長方形の縦を } 2y \text{、横を } 2x \text{ とすると} \nr &x^2+y^2 = 3^2 \text{ が成り立つ} \nr &\therefore y^2 = 9-x^2 \nr &y^2 \geqq 0 \text{ なので } x^2 \leqq 9 \nr &\therefore -3 \leqq x \leqq 3 \nr &\text{面積 } S \text{ は} \nr S &= 2x \cdot 2y \nr &= 4xy \nr &= 4x\sqrt{9-x^2} \nr &= 4\sqrt{-x^4+9x^2} \nr &= 4\sqrt{-\left(x^2-\frac{9}{2}\right)^2+\frac{81}{4}} \quad (0 \leqq x^2 \leqq 9) \nr &x^2=\frac{9}{2} \text{ のとき面積が最大となる。} \nr &\text{このとき } y^2 = \frac{9}{2} \nr &x=y \text{ なので正方形} \end{align*}