この節について
分数関数、無理関数、逆関数、合成関数を扱う節です。分数関数 \(y = \dfrac{ax+b}{cx+d}\) は、分子を分母で割って \(y = \dfrac{k}{x-p}+q\) の形に変形すると、漸近線が \(x=p\)、\(y=q\) だと直ちに読み取れます。
無理関数 \(y=\sqrt{ax+b}\) では、根号の中が0以上という定義域の条件を最初に押さえることが重要です。グラフが放物線の半分になる点、値域が \(y \geqq 0\) に限られる点も、方程式に直したときの同値性の確認に効いてきます。
逆関数は \(x\) と \(y\) を入れ替えて \(y\) について解く手順ですが、もとの関数の値域がそのまま逆関数の定義域になるので、範囲の書き忘れが失点につながりやすい箇所です。以下の解答例ではその条件も明示しています。
3章 関数とグラフ
2 いろいろな関数
BASIC
2 いろいろな関数
BASIC
171 (1)
\begin{align*}
f(-x) &= 3(-x)^2 \nr
&= 3x^2 = f(x) \nr
&\therefore \text{偶関数}
\end{align*}
171 (2)
\begin{align*}
f(-x) &= -x-1 \nr
&\therefore \text{いずれでもない}
\end{align*}
171 (3)
\begin{align*}
f(-x) &= -2 \cdot (-x) \nr
&= 2x = -f(x) \nr
&\therefore \text{奇関数}
\end{align*}
171 (4)
\begin{align*}
f(-x) &= (-x)^2+(-x) \nr
&= x^2-x \nr
&\therefore \text{いずれでもない}
\end{align*}
171 (5)
\begin{align*}
f(-x) &= (-x)^4+5(-x)^2-3 \nr
&= x^4+5x^2-3 = f(x) \nr
&\therefore \text{偶関数}
\end{align*}
171 (6)
\begin{align*}
f(-x) &= (-x-1)^5 \nr
&= -(x+1)^5 \nr
&\therefore \text{いずれでもない}
\end{align*}
171 (7)
\begin{align*}
f(-x) &= \frac{1}{4}(-x)^3 \nr
&= -\frac{1}{4}x^3 = -f(x) \nr
&\therefore \text{奇関数}
\end{align*}
171 (8)
\begin{align*}
f(-x) &= \frac{1}{(-x)^2} \nr
&= \frac{1}{x^2} = f(x) \nr
&\therefore \text{偶関数}
\end{align*}
171 (9)
\begin{align*}
f(-x) &= \frac{\{(-x)+3\}^2}{-x} \nr
&= -\frac{(x+3)^2}{x} = -f(x) \nr
&\therefore \text{奇関数}
\end{align*}
172 (1)
\begin{align*}
y &= (x-1)^3+2 \nr
&y=x^3 \text{ のグラフを } x \text{ 軸方向に } 1 \text{、} \ret y \text{ 軸方向に } 2 \text{ 平行移動したもの}
\end{align*}
172 (2)
\begin{align*}
y &= -(x+1)^3+2
\end{align*}
172 (3)
\begin{align*}
y &= (x+1)^4-2
\end{align*}
172 (4)
\begin{align*}
y &= -(x-2)^4+1
\end{align*}
173 (1)
\begin{align*}
y &= \frac{1}{x-2}+1 \quad (x \neq 2) \nr
&\text{漸近線 } x=2,\ y=1
\end{align*}
173 (2)
\begin{align*}
y &= \frac{2}{x+1}-2 \quad (x \neq -1) \nr
&\text{漸近線 } x=-1,\ y=-2
\end{align*}
173 (3)
\begin{align*}
y &= -\frac{1}{x-3}+1 \quad (x \neq 3) \nr
&\text{漸近線 } x=3,\ y=1
\end{align*}
174 (1)
\begin{align*}
y &= \frac{x+3}{x+1} \nr
&= 1+\frac{2}{x+1} \quad (x \neq -1) \nr
&\text{漸近線 } x=-1,\ y=1
\end{align*}
174 (2)
\begin{align*}
y &= \frac{2x-5}{x-2} \nr
&= 2-\frac{1}{x-2} \quad (x \neq 2) \nr
&\text{漸近線 } x=2,\ y=2
\end{align*}
175 (1)
\begin{align*}
y &= \sqrt{x-2} \nr
x &\geqq 2
\end{align*}
175 (2)
\begin{align*}
y &= \frac{-3}{\sqrt{x+1}} \nr
x &> -1
\end{align*}
175 (3)
\begin{align*}
y &= \sqrt{-x^2+x+6} \nr
&= \sqrt{-(x^2-x-6)} \nr
&= \sqrt{-(x-3)(x+2)} \nr
&-(x-3)(x+2) \geqq 0 \nr
&\therefore -2 \leqq x \leqq 3
\end{align*}
176 (1)
\begin{align*}
y &= \sqrt{x-2} \quad (x \geqq 2) \nr
\text{値域：} & y \geqq 0
\end{align*}
176 (2)
\begin{align*}
y &= \sqrt{x}-2 \quad (x \geqq 0) \nr
\text{値域：} & y \geqq -2
\end{align*}
176 (3)
\begin{align*}
y &= \sqrt{x-2}-2 \quad (x \geqq 2) \nr
\text{値域：} & y \geqq -2
\end{align*}
176 (4)
\begin{align*}
y &= \sqrt{x+1}+2 \quad (x \geqq -1) \nr
\text{値域：} & y \geqq 2
\end{align*}
177 (1)
\begin{align*}
-y &= x^3+3x^2 \nr
y &= -x^3-3x^2
\end{align*}
177 (2)
\begin{align*}
y &= (-x)^3+3(-x)^2 \nr
&= -x^3+3x^2
\end{align*}
177 (3)
\begin{align*}
-y &= (-x)^3+3(-x)^2 \nr
y &= x^3-3x^2
\end{align*}
178
\begin{align*}
y &= \sqrt{x-1}+2
\end{align*}
(1) \(x\) 軸対称
\begin{align*}
y &= -\sqrt{x-1}-2
\end{align*}
(2) \(y\) 軸対称
\begin{align*}
y &= \sqrt{-x-1}+2
\end{align*}
(3) 原点対称
\begin{align*}
y &= -\sqrt{-x-1}-2
\end{align*}
179 (1)
\begin{align*}
y &= \frac{1}{x-2} \quad (x \neq 2,\ y \neq 0) \nr
x-2 &= \frac{1}{y} \nr
x &= \frac{1}{y}+2 \nr
&\text{逆関数は } y = \frac{1}{x}+2 \ret (x \neq 0,\ y \neq 2)
\end{align*}
179 (2)
\begin{align*}
y &= x^2-3 \quad (x \geqq 0,\ y \geqq -3) \nr
x^2 &= y+3 \nr
x &= \sqrt{y+3} \quad (\because x \geqq 0) \nr
&\text{逆関数は } y = \sqrt{x+3} \ret (x \geqq -3,\ y \geqq 0)
\end{align*}
179 (3)
\begin{align*}
y &= -\sqrt{x} \quad (x \geqq 0,\ y \leqq 0) \nr
y^2 &= x \nr
x &= y^2 \nr
&\text{逆関数は } y = x^2 \ret (x \leqq 0,\ y \geqq 0)
\end{align*}
179 (4)
\begin{align*}
y &= \sqrt{2-x}-1 \quad (x \leqq 2,\ y \geqq -1) \nr
2-x &= (y+1)^2 \nr
x &= -(y+1)^2+2 \nr
&\text{逆関数は } y = -(x+1)^2+2 \ret (x \geqq -1,\ y \leqq 2)
\end{align*}
CHECK
180 (1)
\begin{align*}
f(-x) &= -2x \nr
&= -f(x) \nr
&\therefore \text{奇関数}
\end{align*}
180 (2)
\begin{align*}
f(-x) &= 3(-x)^2-1 \nr
&= 3x^2-1 = f(x) \nr
&\therefore \text{偶関数}
\end{align*}
180 (3)
\begin{align*}
f(-x) &= -x\{(-x)^2-1\} \nr
&= -x(x^2-1) = -f(x) \nr
&\therefore \text{奇関数}
\end{align*}
180 (4)
\begin{align*}
f(-x) &= \frac{(-x)^4-1}{(-x)^2} \nr
&= \frac{x^4-1}{x^2} = f(x) \nr
&\therefore \text{偶関数}
\end{align*}
180 (5)
\begin{align*}
f(-x) &= 3 \nr
&= f(x) \nr
&\therefore \text{偶関数}
\end{align*}
180 (6)
\begin{align*}
f(-x) &= 3+(-x)^3 \nr
&= 3-x^3 \nr
&\therefore \text{いずれでもない}
\end{align*}
181 (1)
\begin{align*}
y &= \frac{3x-5}{x-2} \nr
&= 3+\frac{1}{x-2} \quad (x \neq 2) \nr
&\text{漸近線 } x=2,\ y=3
\end{align*}
181 (2)
\begin{align*}
y &= -\sqrt{x+3}+4 \quad (x \geqq -3) \nr
\text{値域：} & y \leqq 4
\end{align*}
182
\begin{align*}
y+3 &= \frac{2}{x-1} \nr
y &= \frac{2}{x-1}-3
\end{align*}
183
\begin{align*}
y-2 &= \sqrt{-(x+3)} \nr
y &= \sqrt{-x-3}+2
\end{align*}
184 (1)
\begin{align*}
y &= (x-1)^3-2
\end{align*}
184 (2)
\begin{align*}
y &= -(x+1)^4+1
\end{align*}
184 (3)
\begin{align*}
y &= \frac{1}{x+1}-2 \nr
&\text{漸近線 } x=-1,\ y=-2
\end{align*}
184 (4)
\begin{align*}
y &= \frac{2x+3}{x+2} \nr
&= 2-\frac{1}{x+2} \nr
&\text{漸近線 } x=-2,\ y=2
\end{align*}
184 (5)
\begin{align*}
y &= \sqrt{x+1}-2 \quad (x \geqq -1)
\end{align*}
184 (6)
\begin{align*}
y &= \sqrt{-x+1}+1 \nr
&= \sqrt{-(x-1)}+1 \quad (x \leqq 1)
\end{align*}
185
\begin{align*}
y &= 3x^4-2x \nr
&\to y = 3(-x)^4-2(-x) \nr
y &= 3x^4+2x
\end{align*}
186
\begin{align*}
y &= \sqrt{x+1}-1 \nr
&\to -y = \sqrt{-x+1}-1 \nr
y &= -\sqrt{-x+1}+1
\end{align*}
187
\begin{align*}
y &= \frac{3}{x+2} \quad (x \neq -2,\ y \neq 0) \nr
x+2 &= \frac{3}{y} \nr
x &= \frac{3}{y}-2 \nr
&\text{逆関数は } y = \frac{3}{x}-2 \ret (x \neq 0,\ y \neq -2)
\end{align*}
188 (1)
\begin{align*}
f(x) &= (x-2)^2 \quad (x \leqq 2,\ f(x) \geqq 0) \nr
\pm\sqrt{f(x)} &= x-2 \nr
x &= 2-\sqrt{f(x)} \quad (\because x \leqq 2) \nr
&\text{よって } g(x) = 2-\sqrt{x} \quad (x \geqq 0)
\end{align*}
188 (2)
\begin{align*}
&\text{交点の } x \text{ 座標は} \nr
&(x-2)^2 = 2-\sqrt{x} \text{ の解} \nr
&\sqrt{x} = 2-(x-2)^2 \nr
&\LHS \geqq 0 \text{ なので } \RHS \geqq 0 \nr
&\therefore (x-2)^2 \leqq 2 \nr
&\text{すなわち } -\sqrt{2} \leqq x-2 \leqq \sqrt{2} \quad \cdots \text{①} \nr
&\text{また } f(x),\ g(x) \text{ の定義域より} \ret 0 \leqq x \leqq 2 \quad \cdots \text{②} \nr
&\text{このとき両辺 } 0 \text{ 以上なので2乗して} \nr
x &= \{2-(x-2)^2\}^2 \nr
x &= 4-4(x-2)^2+(x-2)^4 \nr
&(x-2)^4-4(x-2)^2-(x-2)+2 = 0 \nr
&t = x-2 \text{ とすると} \nr
&t^4-4t^2-t+2 = 0 \ret (\text{①、② より } -\sqrt{2} \leqq t \leqq 0) \nr
&(t-2)(t^3+2t^2-1) = 0 \nr
&(t-2)(t+1)(t^2+t-1) = 0 \nr
&t = 2,\ -1,\ \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \nr
&-\sqrt{2} \leqq t \leqq 0 \text{ をみたすのは } t=-1 \nr
&\text{このとき } x = 1 \nr
&f(1) = (1-2)^2 = 1 \nr
&\therefore \text{交点 } (1,\ 1)
\end{align*}
STEP UP
189 (1)
\begin{align*}
y &= \frac{3x-1}{2x-2} \nr
&= \frac{3}{2}+\frac{2}{2x-2} \nr
&= \frac{1}{x-1}+\frac{3}{2} \nr
&\text{漸近線 } x=1,\ y=\frac{3}{2}
\end{align*}
189 (2)
\begin{align*}
y &= \frac{2x}{2x+3} \nr
&= 1-\frac{3}{2x+3} \nr
&= -\frac{3}{2\left(x+\frac{3}{2}\right)}+1 \nr
&\text{漸近線 } x=-\frac{3}{2},\ y=1
\end{align*}
190 (1)
\begin{align*}
y &= \sqrt{-3x} \quad (x \leqq 0)
\end{align*}
190 (2)
\begin{align*}
y &= \sqrt{-3x+6} \nr
&= \sqrt{-3(x-2)} \quad (x \leqq 2)
\end{align*}
191
\begin{align*}
y &= \frac{4x-9}{2x-3} \nr
&= 2-\frac{3}{2x-3} \ret \left(-1 \leqq x \leqq 3,\ x \neq \frac{3}{2}\right) \nr
\text{値域：} & y \leqq 1,\ \frac{13}{5} \leqq y
\end{align*}
192
\begin{align*}
&y = \sqrt{-3x+a} \quad (-7 \leqq x \leqq b) \nr
&-b \leqq -x \leqq 7 \nr
&-3b \leqq -3x \leqq 21 \nr
&-3b+a \leqq -3x+a \leqq 21+a \nr
&-3b+a \leqq y^2 \leqq 21+a \nr
&1 \leqq y^2 \leqq 25 \text{ なので} \nr
&\begin{cases} -3b+a = 1 \\ 21+a = 25 \end{cases}
\text{より}
\begin{cases} a = 4 \\ b = 1 \end{cases} \nr
&\text{このとき } -3x+a \geqq 0 \text{ をみたす}
\end{align*}
193
\begin{align*}
&x=\frac{2}{3},\ y=2 \text{ を漸近線とする分数関数は} \nr
y &= \frac{k}{x-\frac{2}{3}}+2 \quad (k: \text{定数}) \nr
&(1,\ 1) \text{ を通るので} \nr
1 &= \frac{k}{\frac{1}{3}}+2 \nr
k &= -\frac{1}{3} \nr
y &= -\frac{1}{3x-2}+2 \nr
&= \frac{6x-5}{3x-2} \nr
&\text{これが } y=\frac{ax+b}{3x+c} \text{ に一致するので} \nr
&a=6,\ b=-5,\ c=-2
\end{align*}
194 (1)
\begin{align*}
&y = \frac{a}{x+2}+b \text{ とおける } (a,\ b: \text{定数}) \nr
&(2,\ 4),\ (-1,\ 7) \text{ を通るので} \nr
&\begin{cases} 4 = \dfrac{1}{4}a+b \\ 7 = a+b \end{cases}
\text{より}
\begin{cases} a = 4 \\ b = 3 \end{cases} \nr
y &= \frac{4}{x+2}+3
\end{align*}
194 (2)
\begin{align*}
&y = \frac{b}{x-a}+2 \text{ とおける } (a,\ b: \text{定数}) \nr
&(4,\ 6),\ (2,\ -2) \text{ を通る} \nr
&\begin{cases} 6 = \dfrac{b}{4-a}+2 \\ -2 = \dfrac{b}{2-a}+2 \end{cases} \nr
&\begin{cases} 4(4-a) = b \\ -4(2-a) = b \end{cases} \nr
&16-4a = -8+4a \nr
a &= 3 \nr
b &= 4 \nr
y &= \frac{4}{x-3}+2
\end{align*}
194 (3)
\begin{align*}
&y-a = \frac{3}{x-b} \text{ とおける } (a,\ b: \text{定数}) \nr
&(-2,\ 8),\ (-4,\ 10) \text{ を通るので} \nr
&\begin{cases} 8-a = \dfrac{3}{-2-b} \\ 10-a = \dfrac{3}{-4-b} \end{cases} \nr
2 &= -\frac{3}{4+b}+\frac{3}{2+b} \nr
&2(b+2)(b+4) = -3(b+2)+3(b+4) \nr
&2(b^2+6b+8) = 6 \nr
&b^2+6b+5 = 0 \nr
&(b+1)(b+5) = 0 \nr
b &= -1,\ -5 \nr
&a = 8+\frac{3}{b+2} \text{ なので} \ret (a,\ b) = (11,\ -1),\ (7,\ -5) \nr
&y = \frac{3}{x+1}+11,\quad y = \frac{3}{x+5}+7
\end{align*}
195
\begin{align*}
y &= \frac{3}{3x+k}+2(k+1) \quad \cdots \text{①} \nr
&\left(= \frac{1}{x+\frac{k}{3}}+2(k+1)\right) \nr
&y-2(k+1) = \frac{3}{3x+k} \nr
&y \neq 2(k+1) \text{ なので逆数をとって} \nr
&\frac{1}{y-2(k+1)} = \frac{3x+k}{3} \nr
&x = \frac{1}{y-2(k+1)}-\frac{k}{3} \nr
&\therefore \text{逆関数は} \ret y = \frac{1}{x-2(k+1)}-\frac{k}{3} \nr
&\text{これが ① に一致するので} \nr
&\begin{cases} \frac{k}{3} = -2(k+1) \\ 2(k+1) = -\frac{k}{3} \end{cases} \nr
k &= -6k-6 \nr
k &= -\frac{6}{7}
\end{align*}
196
\begin{align*}
&g(5)=1 \Leftrightarrow f(1)=5 \nr
&g(2)=4 \Leftrightarrow f(4)=2 \nr
&\therefore \begin{cases} 5 = \dfrac{a+2}{2-b} \\ 2 = \dfrac{4a+2}{8-b} \end{cases} \nr
&\begin{cases} 10-5b = a+2 \\ 8-b = 2a+1 \end{cases}
\text{より}
\begin{cases} a = 3 \\ b = 1 \end{cases}
\end{align*}
197
\begin{align*}
&y = 2\sqrt{x+1} \text{ と } y = \frac{1}{3}x+k \ret \text{が接するときを考える} \nr
&2\sqrt{x+1} = \frac{1}{3}x+k \nr
&\text{両辺2乗して} \nr
&36(x+1) = (x+3k)^2 \nr
&x^2+6(k-6)x+9(k^2-4) = 0 \nr
&\text{判別式を } D \text{ とすると} \nr
\frac{D}{4} &= 9(k-6)^2-9(k^2-4) \nr
&= 9(k^2-12k+36)-9(k^2-4) \nr
&= 9(-12k+40) \nr
&\text{重解をもつとき } -12k+40 = 0 \nr
k &= \frac{10}{3} \nr
&\text{このとき交点の } x \text{ 座標は} \nr
&x^2-16x+64 = 0 \nr
&(x-8)^2 = 0 \nr
&x = 8,\ y = 6 \nr
&\text{また } (-1,\ 0) \text{ を } y=\frac{1}{3}x+k \text{ が通るとき} \nr
&0 = -\frac{1}{3}+k \nr
&k = \frac{1}{3} \nr
&\therefore \text{グラフより} \nr
&k < \frac{1}{3} \text{ のとき } 1 \text{ 個} \nr
&\frac{1}{3} \leqq k < \frac{10}{3} \text{ のとき } 2 \text{ 個} \nr
&k = \frac{10}{3} \text{ のとき } 1 \text{ 個} \nr
&\frac{10}{3} < k \text{ のとき } 0 \text{ 個}
\end{align*}
198
\begin{align*}
&\text{交点の } x \text{ 座標は} \nr
&\frac{1}{x} = -\frac{1}{4}x+k \text{ の解 } (x \neq 0) \nr
&4 = -x^2+4kx \nr
&x^2-4kx+4 = 0 \quad \cdots \text{①} \nr
&\text{判別式を } D \text{ とすると} \nr
\frac{D}{4} &= 4k^2-4 \nr
&= 4(k+1)(k-1) < 0 \nr
&-1 < k < 1 \nr
&\text{また } x=0 \text{ は ① の解でない} \nr
&\therefore \text{共有点をもたないとき } -1 < k < 1
\end{align*}
PLUS
199 (1)
\begin{align*}
y &= \abs{x^2-1} \nr
&= \begin{cases}
x^2-1 & (x \leqq -1,\ 1 \leqq x) \\
-x^2+1 & (-1 < x < 1)
\end{cases}
\end{align*}
199 (2)
\begin{align*}
y &= x^2-2\abs{x}+1 \nr
&= \begin{cases}
x^2+2x+1 & (x < 0) \\
x^2-2x+1 & (x \geqq 0)
\end{cases} \nr
&= \begin{cases}
(x+1)^2 & (x < 0) \\
(x-1)^2 & (x \geqq 0)
\end{cases}
\end{align*}
200 (1)
\begin{align*}
&y=x \text{ と } y=-\frac{1}{x} \text{ のグラフをたしたもの} \nr
&\text{漸近線 } x=0,\ y=x
\end{align*}
200 (2)
\begin{align*}
&y=x \text{ と } y=\frac{1}{x} \text{ のグラフをたしたもの} \nr
&\text{漸近線 } x=0,\ y=x
\end{align*}
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