この節について
指数の範囲を自然数から有理数・実数へ広げ、指数関数のグラフと指数方程式・不等式までを扱う節です。\(a^0=1\)、\(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\)、\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\) という拡張の定義を押さえると、累乗根の計算はすべて指数法則に統一して処理できます。
指数方程式は、両辺を同じ底にそろえて \(a^{f(x)}=a^{g(x)} \iff f(x)=g(x)\) に持ち込むのが基本方針です。そろえられない場合は \(a^x = t\ (t>0)\) と置換して \(t\) の2次方程式に帰着させます。このとき \(t>0\) の条件を落とすと不適な解を拾ってしまうので注意が必要です。
指数不等式では、底が1より大きいか小さいかで不等号の向きが変わります。以下の解答例では、その判断をしている箇所も途中式に残しています。
4章 指数関数と対数関数
1 指数関数
BASIC
1 指数関数
BASIC
201 (1)
\begin{align*}
\sqrt[3]{6}
\end{align*}
201 (2)
\begin{align*}
\pm\sqrt[4]{10}
\end{align*}
201 (3)
\begin{align*}
\sqrt[5]{-12}
\end{align*}
202 (1)
\begin{align*}
&\sqrt{2} \times \sqrt{32} \nr
&= \sqrt{2} \times 4\sqrt{2} \nr
&= 8
\end{align*}
202 (2)
\begin{align*}
&\left(\sqrt[5]{5}\right)^3\left(\sqrt[5]{25}\right) \nr
&= 5^{\frac{3}{5}} \times 5^{\frac{2}{5}} \nr
&= 5^1 \nr
&= 5
\end{align*}
202 (3)
\begin{align*}
&\sqrt[4]{27} \times \sqrt[4]{3} \nr
&= 3^{\frac{3}{4}} \times 3^{\frac{1}{4}} \nr
&= 3^1 \nr
&= 3
\end{align*}
202 (4)
\begin{align*}
&\frac{\sqrt[3]{48}}{\sqrt[3]{6}} \nr
&= 8^{\frac{1}{3}} \nr
&= 2
\end{align*}
203 (1)
\begin{align*}
&3^8 \times \left(\frac{1}{9}\right)^3 \nr
&= 3^8 \times 3^{-6} \nr
&= 3^2 \nr
&= 9
\end{align*}
203 (2)
\begin{align*}
&10^2 \times 5^{-3} \times \left(\frac{1}{4}\right)^{-1} \nr
&= 2^2 \times 5^2 \times 5^{-3} \times 2^2 \nr
&= 2^4 \times 5^{-1} \nr
&= \frac{16}{5}
\end{align*}
203 (3)
\begin{align*}
&\left(ab^3\right)^2 \times \left(a^{-1}b^2\right)^{-1} \nr
&= a^2b^6 \times a^1b^{-2} \nr
&= a^3b^4
\end{align*}
203 (4)
\begin{align*}
&\frac{\left(9ab^{-2}\right)^2}{\left(3a^{-2}b^2\right)^3} \nr
&= 3^4a^2b^{-4} \times 3^{-3}a^6b^{-6} \nr
&= 3a^8b^{-10} \nr
&= \frac{3a^8}{b^{10}}
\end{align*}
204 (1)
\begin{align*}
\sqrt{a^5} &= a^{\frac{5}{2}}
\end{align*}
204 (2)
\begin{align*}
\frac{1}{\sqrt[7]{a^3}} &= a^{-\frac{3}{7}}
\end{align*}
204 (3)
\begin{align*}
a^{\frac{2}{5}} &= \sqrt[5]{a^2}
\end{align*}
204 (4)
\begin{align*}
a^{-\frac{1}{2}} &= \frac{1}{\sqrt{a}}
\end{align*}
205 (1)
\begin{align*}
\left(a^{-\frac{1}{2}}\right)^{\frac{4}{3}} &= a^{-\frac{2}{3}}
\end{align*}
205 (2)
\begin{align*}
\frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{-\frac{1}{4}}} &= a^{\frac{1}{2}} \times a^{\frac{1}{4}} \nr
&= a^{\frac{3}{4}}
\end{align*}
205 (3)
\begin{align*}
a^{1.2} \times a^{0.4} &= a^{1.6} \nr
&= a^{\frac{8}{5}}
\end{align*}
206 (1)
\begin{align*}
&\sqrt[4]{a^2} \times \sqrt[5]{a^3} \nr
&= a^{\frac{2}{4}} \times a^{\frac{3}{5}} \nr
&= a^{\frac{5}{10}} \times a^{\frac{6}{10}} \nr
&= a^{\frac{11}{10}}
\end{align*}
206 (2)
\begin{align*}
\frac{a\sqrt[4]{a}}{\sqrt{a}} &= a^1 \times a^{\frac{1}{4}} \times a^{-\frac{1}{2}} \nr
&= a^{\frac{3}{4}}
\end{align*}
206 (3)
\begin{align*}
\sqrt[3]{\sqrt[4]{a}} &= \left(a^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{1}{3}} \nr
&= a^{\frac{1}{12}}
\end{align*}
207 (1)
\begin{align*}
y &= 4^x \nr
&(0,\ 1),\ (1,\ 4) \text{ を通る増加関数} \nr
&\text{漸近線 } y=0
\end{align*}
207 (2)
\begin{align*}
y &= 4^{x-1} \nr
&y=4^x \text{ のグラフを } x \text{ 軸方向に } 1 \ret \text{平行移動したもの}
\end{align*}
207 (3)
\begin{align*}
y &= \left(\frac{1}{4}\right)^x \nr
&= 4^{-x} \nr
&y=4^x \text{ のグラフと } y \text{ 軸対称}
\end{align*}
208 (1)
\begin{align*}
y &= -4^x \nr
&y=4^x \text{ のグラフと } x \text{ 軸対称}
\end{align*}
208 (2)
\begin{align*}
y &= -4^{-x} \nr
&y=4^x \text{ のグラフと原点対称}
\end{align*}
209 (1)
\begin{align*}
2^{2x} &= 2\sqrt[3]{2} \nr
2^{2x} &= 2^{1+\frac{1}{3}} \nr
2x &= \frac{4}{3} \nr
x &= \frac{2}{3}
\end{align*}
209 (2)
\begin{align*}
3^{-x+1} &= \sqrt{243} \nr
3^{-x+1} &= 3^{\frac{5}{2}} \nr
-x+1 &= \frac{5}{2} \nr
x &= -\frac{3}{2}
\end{align*}
209 (3)
\begin{align*}
9^x-7 \cdot 3^x-18 &= 0 \nr
\left(3^x\right)^2-7 \cdot 3^x-18 &= 0 \nr
\left(3^x-9\right)\left(3^x+2\right) &= 0 \nr
3^x &= 9,\ -2 \nr
&3^x = -2 \text{ は解なし} \nr
x &= 2
\end{align*}
210 (1)
\begin{align*}
8^x &> 16 \nr
2^{3x} &> 2^4 \nr
&\text{底 } 2>1 \text{ なので } 3x > 4 \nr
x &> \frac{4}{3}
\end{align*}
210 (2)
\begin{align*}
\left(\frac{1}{5}\right)^{x+3} &< \frac{1}{25} \nr
\left(\frac{1}{5}\right)^{x+3} &< \left(\frac{1}{5}\right)^2 \nr
&\text{底 } \frac{1}{5}<1 \text{ なので } x+3 > 2 \nr
x &> -1
\end{align*}
CHECK
211 (1)
\begin{align*}
&\sqrt[3]{-8} \times \sqrt[5]{-243} \nr
&= (-2) \times (-3) \nr
&= 6
\end{align*}
211 (2)
\begin{align*}
&\sqrt[4]{(-2)^4} \times \sqrt[3]{125} \nr
&= 2 \times 5 \nr
&= 10
\end{align*}
211 (3)
\begin{align*}
&\left(\sqrt[3]{2}\right)^5 \times \sqrt[3]{54} \quad (54 = 2 \times 3^3) \nr
&= 2^{\frac{5}{3}} \times 2^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{3}{3}} \nr
&= 2^2 \times 3 \nr
&= 12
\end{align*}
211 (4)
\begin{align*}
&\frac{\sqrt[5]{24}}{\left(\sqrt[5]{18}\right)^3} \nr
&= \left(\frac{24}{18^3}\right)^{\frac{1}{5}} \nr
&= \left(\frac{2^3 \times 3}{2^3 \times 3^6}\right)^{\frac{1}{5}} \nr
&= \frac{1}{3}
\end{align*}
212 (1)
\begin{align*}
a^2\sqrt{a} &= a^2 \times a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{5}{2}}
\end{align*}
212 (2)
\begin{align*}
\sqrt{\sqrt[3]{a^2}} &= \left(a^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{3}}
\end{align*}
212 (3)
\begin{align*}
\frac{1}{a^2\sqrt[4]{a^3}} &= a^{-2} \times a^{-\frac{3}{4}} = a^{-\frac{11}{4}}
\end{align*}
212 (4)
\begin{align*}
\frac{a^2}{\sqrt[10]{\sqrt[5]{a}}} &= a^2 \times \left(a^{\frac{1}{5}}\right)^{-\frac{1}{10}} \nr
&= a^2 \times a^{-\frac{1}{50}} = a^{\frac{99}{50}}
\end{align*}
213 (1)
\begin{align*}
a^{\frac{1}{2}} \times a^{\frac{1}{3}} &= a^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{a^5}
\end{align*}
213 (2)
\begin{align*}
\frac{a^{\frac{5}{4}}}{a^{\frac{3}{2}}} &= a^{\frac{5}{4}} \times a^{-\frac{3}{2}} \nr
&= a^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{a}}
\end{align*}
214 (1)
\begin{align*}
&\left(2a^2\right)^{\frac{2}{3}} \times \left(2a^{-1}\right)^{\frac{1}{3}} \nr
&= 2^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{4}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot a^{-\frac{1}{3}} \nr
&= 2^1 \cdot a^1 \nr
&= 2a
\end{align*}
214 (2)
\begin{align*}
&\left(a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}\right)^2 \nr
&= a^{2 \cdot \frac{1}{2}}+2 \cdot a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{-\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2} \cdot 2} \nr
&= a+2+\frac{1}{a}
\end{align*}
214 (3)
\begin{align*}
&\frac{\sqrt[3]{a^2} \times \sqrt{a}}{\sqrt[6]{a^5}} \nr
&= a^{\frac{2}{3}} \times a^{\frac{1}{2}} \times a^{-\frac{5}{6}} \nr
&= a^{\frac{4+3-5}{6}} \nr
&= a^{\frac{1}{3}}
\end{align*}
214 (4)
\begin{align*}
&\left(\frac{\sqrt[4]{a}}{\sqrt[3]{a}}\right)^2 \times \sqrt[6]{a} \nr
&= a^{\frac{2}{4}} \times a^{-\frac{2}{3}} \times a^{\frac{1}{6}} \nr
&= a^{\frac{6-8+2}{12}} \nr
&= 1
\end{align*}
215 (1)
\begin{align*}
&y \text{ 方向に } +1
\end{align*}
215 (2)
\begin{align*}
y &= 3^x \ \to\ -y = 3^{-x} \nr
&\therefore \text{原点対称}
\end{align*}
216 (1)
\begin{align*}
4^x-7 \cdot 2^x-8 &= 0 \nr
\left(2^x-8\right)\left(2^x+1\right) &= 0 \nr
2^x &= 8,\ -1 \nr
x &= 3
\end{align*}
216 (2)
\begin{align*}
2\left(\frac{1}{4}\right)^x-9\left(\frac{1}{2}\right)^x+4 &= 0 \nr
2-9 \cdot 2^x+4\left(2^x\right)^2 &= 0 \nr
\left(4 \cdot 2^x-1\right)\left(2^x-2\right) &= 0 \nr
2^x &= \frac{1}{4},\ 2 \nr
x &= 1,\ -2
\end{align*}
217 (1)
\begin{align*}
3^{2x-1} &< \frac{1}{\sqrt[3]{81}} \nr
3^{2x-1} &< 3^{-\frac{4}{3}} \nr
&\text{底 } 3>1 \text{ なので} \nr
2x-1 &< -\frac{4}{3} \nr
2x &< -\frac{1}{3} \nr
x &< -\frac{1}{6}
\end{align*}
217 (2)
\begin{align*}
\left(\frac{1}{2}\right)^x &< \sqrt[3]{32} \nr
2^{-x} &< 2^{\frac{5}{3}} \nr
&\text{底 } 2>1 \text{ なので} \nr
-x &< \frac{5}{3} \nr
x &> -\frac{5}{3}
\end{align*}
STEP UP
218 (1)
\begin{align*}
\sqrt[5]{81} &= 3^{\frac{4}{5}} \nr
\frac{1}{\sqrt[3]{9}} &= 3^{-\frac{2}{3}} \nr
3 \cdot \sqrt[4]{3} &= 3^{\frac{5}{4}} \nr
1 &= 3^0 \nr
-\frac{2}{3} < 0 &< \frac{4}{5} < \frac{5}{4} \nr
&\text{底 } 3>1 \text{ なので} \nr
&\frac{1}{\sqrt[3]{9}} < 1 < \sqrt[5]{81} < 3 \cdot \sqrt[4]{3}
\end{align*}
218 (2)
\begin{align*}
\sqrt[5]{0.7} &= 0.7^{\frac{1}{5}} \nr
\frac{1}{0.49} &= 0.7^{-2} \nr
\frac{1}{\sqrt[4]{0.7}} &= 0.7^{-\frac{1}{4}} \nr
\left(\sqrt[3]{0.7}\right)^4 &= 0.7^{\frac{4}{3}} \nr
-2 < -\frac{1}{4} &< \frac{1}{5} < \frac{4}{3} \nr
&\text{底 } 0.7<1 \text{ なので} \nr
&\left(\sqrt[3]{0.7}\right)^4 < \sqrt[5]{0.7} \ret < \frac{1}{\sqrt[4]{0.7}} < \frac{1}{0.49}
\end{align*}
219 (1)
\begin{align*}
0.5^{2x+1} &> 0.125^{1-x} \nr
\left(\frac{1}{2}\right)^{2x+1} &> \left(\frac{1}{8}\right)^{1-x} \nr
2^{-(2x+1)} &> 2^{-3(1-x)} \nr
&\text{底 } 2>1 \text{ なので} \nr
-2x-1 &> -3+3x \nr
-5x &> -2 \nr
x &< \frac{2}{5}
\end{align*}
219 (2)
\begin{align*}
\sqrt[4]{a^{3x}} &> \frac{1}{a^{x+1}} \nr
a^{\frac{3}{4}x} &> a^{-(x+1)}
\end{align*}
i) 底 \(a>1\) のとき
\begin{align*}
\frac{3}{4}x &> -x-1 \nr
\frac{7}{4}x &> -1 \nr
x &> -\frac{4}{7}
\end{align*}
ii) 底 \(0<a<1\) のとき
\begin{align*}
\frac{3}{4}x &< -x-1 \nr
x &< -\frac{4}{7}
\end{align*}
220 (1)
\begin{align*}
2^{2x+3}-17 \cdot 2^x+2 &> 0 \nr
8 \cdot \left(2^x\right)^2-17 \cdot 2^x+2 &> 0 \nr
\left(8 \cdot 2^x-1\right)\left(2^x-2\right) &> 0 \nr
2^x < \frac{1}{8},\ 2 &< 2^x \nr
&\text{底 } 2>1 \text{ なので} \nr
x < -3,\ 1 &< x
\end{align*}
220 (2)
\begin{align*}
3^{2x}-8 \cdot 3^x-9 &< 0 \nr
\left(3^x-9\right)\left(3^x+1\right) &< 0 \nr
-1 < 3^x &< 9 \nr
&\text{底 } 3>1 \text{ なので} \nr
x &< 2
\end{align*}
221
\begin{align*}
3^x+3^{-x} &= 5 \nr
&\text{両辺3乗して} \nr
&3^{3x}+3 \cdot 3^{2x} \cdot 3^{-x} \ret +3 \cdot 3^x \cdot 3^{-2x}+3^{-3x} = 125 \nr
&27^x+27^{-x}+3\left(3^x+3^{-x}\right) = 125 \nr
&27^x+27^{-x}+15 = 125 \nr
&27^x+27^{-x} = 110
\end{align*}
222
\begin{align*}
&\frac{a^{4x}-a^{-4x}}{a^x-a^{-x}} \nr
&= \frac{\left(a^{2x}+a^{-2x}\right)\left(a^{2x}-a^{-2x}\right)}{a^x-a^{-x}} \nr
&= \frac{\left(a^{2x}+a^{-2x}\right)\left(a^x+a^{-x}\right)\left(a^x-a^{-x}\right)}{a^x-a^{-x}} \nr
&= \left(6+\frac{1}{6}\right)\left(\sqrt{6}+\frac{1}{\sqrt{6}}\right) \quad (\because a>0) \nr
&= \frac{37}{6} \cdot \frac{7}{\sqrt{6}} \nr
&= \frac{259}{36}\sqrt{6}
\end{align*}
223 (1)
\begin{align*}
y &= 9^x-6 \cdot 3^x+5 \quad (0 \leqq x \leqq 2) \nr
&= \left(3^x-3\right)^2-4 \nr
&1 \leqq 3^x \leqq 9 \text{ なので} \nr
&3^x=3 \text{ すなわち } x=1 \text{ で最小値 } -4 \nr
&3^x=9 \text{ すなわち } x=2 \text{ で最大値 } 32 \ret \text{をとる}
\end{align*}
223 (2)
\begin{align*}
y &= \left(3^x-3\right)^2-4 \quad (-1 \leqq x \leqq 0) \nr
&\frac{1}{3} \leqq 3^x \leqq 1 \text{ なので} \nr
&3^x=1 \text{ すなわち } x=0 \text{ で最小値 } 0 \nr
&3^x=\frac{1}{3} \text{ すなわち } x=-1 \text{ で} \ret \text{最大値 } \frac{64}{9}-4=\frac{28}{9} \text{ をとる}
\end{align*}
224 (1)
\begin{align*}
X^2 &= \left(2^x+2^{-x}\right)^2 \nr
&= 4^x+2+4^{-x} \nr
&\therefore 4^x+4^{-x} = X^2-2 \nr
f(x) &= \left(X^2-2\right)-2X+1 \nr
&= X^2-2X-1 \nr
&= (X-1)^2-2
\end{align*}
224 (2)
\begin{align*}
&2^x>0,\ 2^{-x}>0 \text{ なので} \ret \text{相加平均と相乗平均の関係より} \nr
X &\geqq 2\sqrt{2^x \cdot 2^{-x}} \nr
&= 2 \nr
&\text{等号成立は } 2^x = 2^{-x} \nr
&2^{2x} = 1 \nr
&\text{すなわち } x=0 \text{ のとき}
\end{align*}
224 (3)
\begin{align*}
f(x) &= (X-1)^2-2 \quad (X \geqq 2) \nr
&X=2 \text{ すなわち } x=0 \text{ で最小値 } -1 \ret \text{をとる}
\end{align*}
ブラウザ上での描画のため、PDF版とは体裁が異なる場合があります。
ここに記す解法が最適なものとは限りません。途中式の丸写しはあなたのためになりません。学習の参考程度にご活用ください。
誤字・誤値等にお気づきの際は連絡先までご連絡ください。